Considerando, , uma região limitada pelas curvas e , no intervalo , calcule ., para encontrar a área. Além disso, esboce o gráfico da interseção das curvas. (1 ponto)

Passo 1

Vamos começar entendendo o enunciado. Temos uma região limitada pelas curvas e no intervalo de . Precisamos calcular a integral dupla de sobre essa região . Para resolver isso, vamos usar conceitos de cálculo integral, especificamente integrais duplas, e entender como determinar os limites de integração corretamente.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar os pontos de interseção das curvas e . Isso nos ajuda a confirmar os limites de e a entender qual curva está acima da outra no intervalo dado.

Passo 3

Igualando as duas equações para encontrar os pontos de interseção:
Resolvendo:
Portanto, os pontos de interseção são e , que já correspondem aos limites do intervalo fornecido no enunciado.

Passo 4

No intervalo , verificamos qual curva está acima da outra. Para isso, escolhemos um valor de dentro do intervalo, por exemplo, :
Como , a curva está acima de nesse intervalo.

Passo 5

Com isso, podemos configurar a integral dupla. Como a varia de a para cada no intervalo de a , a integral dupla fica:

Passo 6

Vamos resolver a integral interna em relação a :

Passo 7

Agora, substituímos o resultado da integral interna na integral externa:

Passo 8

Vamos resolver a integral final:

Resposta

A integral dupla sobre a região limitada pelas curvas e é igual a .

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Determine o volume do sólido que se encontra abaixo do plano tendo como e acima do retângulo (1 ponto)
Questão 4: Seja o sólido interior à esfera acima do plano e considere a integral .
a) Calcule usando em coordenadas cilíndricas.
b) Forneça uma expressão para em coordenadas esféricas.
Determine o volume do sólido dado abaixo do plano , e acima da região limitada por e
Seja diferenciável tal que para todos . Mostre que f é uma função linear.
O que se pode dizer, baseando-se no fato acima, sobre a diferenciabilidade da função
no ponto ?