Considerando, D, uma região limitada pelas curvas y=x e y=x^2, no intervalo 0 <= x <= 1, calcule integral duplaD(x y) d A., para encontrar a área. Além disso, esboce o gráfico da interseção das curvas. (1 ponto)

Passo 1

Vamos começar entendendo o enunciado. Temos uma região limitada pelas curvas e no intervalo de . Precisamos calcular a integral dupla de sobre essa região . Para resolver isso, vamos usar conceitos de cálculo integral, especificamente integrais duplas, e entender como determinar os limites de integração corretamente.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar os pontos de interseção das curvas e . Isso nos ajuda a confirmar os limites de e a entender qual curva está acima da outra no intervalo dado.

Passo 3

Igualando as duas equações para encontrar os pontos de interseção:
x = x^2
Resolvendo:
x^2 - x = 0 x(x - 1) = 0
Portanto, os pontos de interseção são e , que já correspondem aos limites do intervalo fornecido no enunciado.

Passo 4

No intervalo y = x = 0,5 y = x^2 = 0,25 , verificamos qual curva está acima da outra. Para isso, escolhemos um valor de dentro do intervalo, por exemplo, :
Como , a curva está acima de nesse intervalo.

Passo 5

Com isso, podemos configurar a integral dupla. Como a integral duplaD xy , dA = integral0^1 integralx^2^x xy , dy , dx varia de a para cada no intervalo de a , a integral dupla fica:

Passo 6

Vamos resolver a integral interna em relação a integralx^2^x xy , dy = x integralx^2^x y , dy = x [ y^22 ]x^2^x = x ( x^22 - (x^2)^22 ) = x ( x^22 - x^42 ) = x^3 - x^52 :

Passo 7

Agora, substituímos o resultado da integral interna na integral externa:
integral0^1 x^3 - x^52 , dx = 12 integral0^1 (x^3 - x^5) , dx

Passo 8

Vamos resolver a integral final:
12 [ x^44 - x^66 ]0^1 = 12 ( ( 14 - 16 ) - ( 0 - 0 ) ) = 12 ( 312 - 212 ) = 12 cdot 112 = 124

Resposta

A integral dupla sobre a região limitada pelas curvas e é igual a .

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