Considerando,
, uma região limitada pelas curvas
e
, no intervalo
, calcule
., para encontrar a área. Além disso, esboce o gráfico da interseção das curvas. (1 ponto)
Passo 1
Vamos começar entendendo o enunciado. Temos uma região
limitada pelas curvas
e
no intervalo de
. Precisamos calcular a integral dupla de
sobre essa região
. Para resolver isso, vamos usar conceitos de cálculo integral, especificamente integrais duplas, e entender como determinar os limites de integração corretamente.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar os pontos de interseção das curvas
e
. Isso nos ajuda a confirmar os limites de
e a entender qual curva está acima da outra no intervalo dado.
Passo 3
Igualando as duas equações para encontrar os pontos de interseção:
Resolvendo:
Portanto, os pontos de interseção são
e
, que já correspondem aos limites do intervalo fornecido no enunciado.
Passo 4
No intervalo
, verificamos qual curva está acima da outra. Para isso, escolhemos um valor de
dentro do intervalo, por exemplo,
:
Como
, a curva
está acima de
nesse intervalo.
Passo 5
Com isso, podemos configurar a integral dupla. Como a
varia de
a
para cada
no intervalo de
a
, a integral dupla fica:
Passo 6
Vamos resolver a integral interna em relação a
:
Passo 7
Agora, substituímos o resultado da integral interna na integral externa:
Passo 8
Vamos resolver a integral final:
Resposta
A integral dupla
sobre a região
limitada pelas curvas
e
é igual a
.