Determine o volume do sólido que se encontra abaixo do plano tendo como f(x, y) = 3 x + 4 y^2 e acima do retângulo R = {(x, y) | 1 <= x <= 3, -1 <= y <= 2} (1 ponto)

Passo 1

Beleza, vamos descobrir o volume do sólido que está abaixo do plano definido por e acima do retângulo . Para isso, vamos usar o cálculo de integrais duplas, que serve exatamente para calcular volumes assim.

Passo 2

Primeiro, vamos montar a integral dupla que representa esse volume. A ideia é integrar a função sobre a região . Assim, temos:

Passo 3

Vamos começar integrando a função em relação a , mantendo como constante:
Calculando cada parte:
Então, a integral fica:

Passo 4

Agora, vamos integrar o resultado em relação a :
Integrando cada termo:
Então:
Substituindo os limites:

Resposta

O volume do sólido é unidades cúbicas.

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