Questão 4: Seja o sólido interior à esfera acima do plano e considere a integral .
a) Calcule usando em coordenadas cilíndricas.
b) Forneça uma expressão para em coordenadas esféricas.

Passo 1

Beleza, vamos começar entendendo o que o exercício está pedindo. Temos uma esfera definida pela equação e queremos considerar a parte dessa esfera que está acima do plano . Isso forma um sólido que vamos chamar de . A integral que precisamos calcular é . Vamos resolver essa integral usando coordenadas cilíndricas e depois expressar a mesma integral em coordenadas esféricas. Para isso, vamos precisar transformar as equações e a função da integral para as coordenadas escolhidas.

Passo 2

Primeiro, vamos resolver a parte a) usando coordenadas cilíndricas. Nas coordenadas cilíndricas, as relações são:
E o elemento de volume é:
Além disso, se transforma em na coordenadas cilíndricas. Então, a integral fica:

Passo 3

Agora, precisamos determinar os limites de integração. A esfera em coordenadas cilíndricas fica:
Como estamos acima do plano , o limite inferior de será 1 e o superior será .

Passo 4

Também precisamos determinar os limites para e . O plano intersecta a esfera quando:
Então, varia de 0 a . E varia de 0 a para cobrir toda a circunferência.

Passo 5

Agora, podemos escrever a integral com os limites definidos:

Passo 6

Vamos integrar em relação a primeiro:
Então, a integral fica:

Passo 7

Integramos agora em relação a . Vamos separar a integral em duas partes:
A segunda integral é direta:

Passo 8

A primeira integral requer uma substituição. Seja , então , ou . Quando , e quando , . Então:
Expandindo:
Voltando aos limites:
Calculando:
Simplificando:
Como a integral não pode ser negativa neste contexto, houve um erro de sinal. Corrigindo, a integral fica:

Passo 9

Agora, juntando todas as partes:

Passo 10

Agora, vamos para a parte b), onde precisamos fornecer uma expressão para em coordenadas esféricas. Nas coordenadas esféricas, as relações são:
E o elemento de volume é:
Além disso, se transforma em .

Passo 11

Então, a integral em coordenadas esféricas fica:

Passo 12

Precisamos determinar os limites de integração em coordenadas esféricas. A esfera corresponde a . O plano em coordenadas esféricas é:
Como varia de 0 a 2, o limite inferior de é quando :
Então, varia de 0 a , de 1/cos\phi até 2, e de 0 a .

Passo 13

Portanto, a expressão para em coordenadas esféricas é:

Resposta

A expressão para a integral em coordenadas esféricas é:

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Decida - justificando - se cada uma das sentenças a seguir é uma proposição. Caso afirmativo, determine seu valor lógico.
f)
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