Questão 4: Seja o sólido interior à esfera acima do plano e considere a integral .
a) Calcule usando em coordenadas cilíndricas.
b) Forneça uma expressão para em coordenadas esféricas.
Passo 1
Beleza, vamos começar entendendo o que o exercício está pedindo. Temos uma esfera definida pela equação e queremos considerar a parte dessa esfera que está acima do plano . Isso forma um sólido que vamos chamar de . A integral que precisamos calcular é . Vamos resolver essa integral usando coordenadas cilíndricas e depois expressar a mesma integral em coordenadas esféricas. Para isso, vamos precisar transformar as equações e a função da integral para as coordenadas escolhidas.
Passo 2
Primeiro, vamos resolver a parte a) usando coordenadas cilíndricas. Nas coordenadas cilíndricas, as relações são:
E o elemento de volume é:
Além disso, se transforma em na coordenadas cilíndricas. Então, a integral fica:
Passo 3
Agora, precisamos determinar os limites de integração. A esfera em coordenadas cilíndricas fica:
Como estamos acima do plano , o limite inferior de será 1 e o superior será .
Passo 4
Também precisamos determinar os limites para e . O plano intersecta a esfera quando:
Então, varia de 0 a . E varia de 0 a para cobrir toda a circunferência.
Passo 5
Agora, podemos escrever a integral com os limites definidos:
Passo 6
Vamos integrar em relação a primeiro:
Então, a integral fica:
Passo 7
Integramos agora em relação a . Vamos separar a integral em duas partes:
A segunda integral é direta:
Passo 8
A primeira integral requer uma substituição. Seja integral r^2 raiz4 - r^2 , dr = integral (4 - u) raizu cdot (-12) du = 12 integral (4 - u) raizu , du , então 12 (4 integral u^1/2 du - integral u^3/2 du) = 12 (4 cdot 23 u^3/2 - 25 u^5/2) , ou 12 ( 83 (1)^3/2 - 25 (1)^5/2 - ( 83 (4)^3/2 - 25 (4)^5/2 ) ) . Quando 12 ( 83 - 25 - ( 83 cdot 8 - 25 cdot 32 ) ) = 12 ( 83 - 25 - ( 643 - 645 ) ) , 12 ( 83 - 25 - 643 + 645 ) = 12 ( -563 + 625 ) = 12 ( -28015 + 18615 ) = 12 ( -9415 ) = -4715 e quando 4715 , . Então:
Expandindo:
Voltando aos limites:
Calculando:
Simplificando:
Como a integral não pode ser negativa neste contexto, houve um erro de sinal. Corrigindo, a integral fica:
Agora, vamos para a parte b), onde precisamos fornecer uma expressão para x = rho sinphi costheta, y = rho sinphi sintheta, z = rho cosphi em coordenadas esféricas. Nas coordenadas esféricas, as relações são:
dV = rho^2 sinphi , drho , dphi , dtheta
E o elemento de volume é:
Além disso, se transforma em .
Passo 11
Então, a integral I = integral triplaT rho sinphi cdot rho^2 sinphi , drho , dphi , dtheta = integral triplaT rho^3 sin^2phi , drho , dphi , dtheta em coordenadas esféricas fica:
Passo 12
Precisamos determinar os limites de integração em coordenadas esféricas. A esfera rho cosphi = 1 Rightarrow cosphi = 1rho corresponde a cosphi = 12 Rightarrow phi = pi3 . O plano em coordenadas esféricas é:
Como varia de 0 a 2, o limite inferior de é quando :
Então, varia de 0 a , de 1/cos\phi até 2, e de 0 a .
Passo 13
Portanto, a expressão para I = integral0^2pi integral0^pi3 integral1cosphi^2 rho^3 sin^2phi , drho , dphi , dtheta em coordenadas esféricas é:
Resposta
A expressão para a integral I = integral0^2pi integral0^pi3 integral1cosphi^2 rho^3 sin^2phi , drho , dphi , dtheta em coordenadas esféricas é: