Determine o volume do sólido dado abaixo do plano , e acima da região limitada por e
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício que trata do cálculo de volume usando integrais duplas. A gente vai precisar entender como delimitar a região no plano que está entre as curvas e , e depois integrar a função que representa o plano sobre essa região para encontrar o volume.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar os pontos de interseção das duas curvas e . Para isso, podemos igualar as duas equações:
Subtraindo de ambos os lados:
Rearranjando:
Então, ou . Agora, vamos encontrar os valores correspondentes de :
Para : →
Para : →
Portanto, os pontos de interseção são e .
Passo 3
Agora, precisamos determinar qual das curvas está acima da outra na região de integração. Vamos resolver para nas duas equações:
Da reta :
Da parábola :
Comparando e :
Isso acontece quando ou . Mas como nossos pontos de interseção estão entre e , dentro desse intervalo, está acima de .
Então, a região de integração vai de a , e para cada , varia de a .
Passo 4
Agora, vamos configurar a integral dupla para calcular o volume. A função que representa o plano é . Então, o volume é dado por:
Passo 5
Vamos resolver a integral interna primeiro:
Integrando em relação a :
Substituindo os limites:
Simplificando e resolvendo essa expressão, e depois integrando em relação a de 0 a 1, obtemos o volume.