Seja diferenciável tal que para todos . Mostre que f é uma função linear.
O que se pode dizer, baseando-se no fato acima, sobre a diferenciabilidade da função
no ponto ?
Passo 1
Vamos resumir o que o exercício está pedindo. Temos uma função que é diferenciável e satisfaz a condição de homogeneidade para todo e para todos . Precisamos mostrar que é uma função linear. Além disso, com base nesse resultado, devemos analisar a diferenciabilidade da função específica no ponto .
Para resolver isso, vamos precisar entender conceitos de funções homogêneas, funções lineares e diferenciabilidade em funções de várias variáveis.
Passo 2
Primeiro, vamos recordar o que significa uma função ser linear. Uma função é linear se, para todos e para todo escalar , as seguintes propriedades são verdadeiras:
Aditividade:
Homogeneidade:
No nosso caso, a condição dada corresponde à homogeneidade de grau 1. Precisamos verificar se a aditividade também é satisfeita para concluir que é linear.
Passo 3
Como é diferenciável, podemos usar o fato de que uma função diferenciável que satisfaz uma condição de homogeneidade de grau 1 é linear. Vamos explorar isso.
A condição sugere que a função “comporta-se bem” quando escalamos seus argumentos. Isso é uma característica central das funções lineares, mas precisamos comprovar completamente.
Passo 4
Vamos considerar a derivada parcial de em relação a e no ponto . Como é diferenciável, essas derivadas existem e são constantes.
Além disso, pela condição de homogeneidade, podemos derivar em relação a e avaliar em :
Por outro lado, derivando o lado direito:
Isso confirma que a função preserva a estrutura linear nas derivadas, indicando que é de fato linear.
Passo 5
Agora, aplicando esse resultado à função específica dada:
Se fosse linear, ela deveria satisfazer a condição de homogeneidade e aditividade em todo o domínio, incluindo o ponto . No entanto, observando a definição de , percebemos que a função não é proporcional em todas as direções ao passar por . Por exemplo, ao fixar , temos , mas em outras direções essa proporcionalidade não se mantém. Isso indica que não é linear.
Portanto, não satisfaz as condições de linearidade necessárias para ser diferenciável em .