Considerando a definição de elemento invertível em um anel, responda aos questionamentos abaixo:
Quem são os elementos invertíveis no anel
?
Quem são os elementos invertíveis no anel
Passo 1
Beleza, vamos lá! O desafio aqui é descobrir quais são os elementos invertíveis no anel
. Isso envolve conceitos de algebras de anéis e, mais especificamente, de matrizes invertíveis. Vamos precisar entender o que significa um elemento ser invertível em um anel e como isso se aplica ao conjunto de todas as matrizes
com entradas reais.
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar o que é um anel. Um anel é uma estrutura matemática que possui duas operações: adição e multiplicação, funcionando de maneira semelhante aos números inteiros. Dentro desse anel, um elemento é chamado de invertível se existir outro elemento que, quando multiplicados, resultam na unidade multiplicativa do anel (que, nesse caso, é a matriz identidade).
Passo 3
No contexto das matrizes, a unidade multiplicativa é a matriz identidade
, que tem 1’s na diagonal principal e 0’s nas demais posições. Portanto, uma matriz
em
é invertível se existir uma matriz
tal que:
Se isso acontecer, dizemos que
é a matriz inversa de
, denotada por
.
Passo 4
Para uma matriz ser invertível, ela precisa ser não singular, o que significa que seu determinante é diferente de zero (
). O determinante é um valor que pode ser calculado a partir dos elementos da matriz e fornece informações importantes sobre suas propriedades, incluindo a invertibilidade.
Passo 5
Resumindo, no anel
, os elementos invertíveis são exatamente aquelas matrizes que possuem determinante diferente de zero. Essas matrizes são conhecidas como matrizes invertíveis ou matrizes não singulares. O conjunto de todas essas matrizes forma o grupo geral linear
, que é um grupo importante em várias áreas da matemática.
Resposta
Os elementos invertíveis no anel
são todas as matrizes
com entradas reais que possuem determinante diferente de zero, ou seja, as matrizes não singulares.
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Seja
o anel de polinômios com coeficientes em
(aqui todos os coeficientes são 0 ou 1 e a soma e o produto entre eles é feita módulo 2 ). Prove que
é um corpo.
Determine o núcleo e a imagem de cada uma das transformaçōes lineares abaixo:
(b)
(b)
Verifique se as afirmações a seguir são verdadeiras ou falsas. Justifique.
é base de
A função
definida por
é um homomorfismo de anéis?