Determine o núcleo e a imagem de cada uma das transformaçōes lineares abaixo:
(b)
Passo 1
Beleza, vamos resolver juntos esse exercício de transformações lineares! O que a gente precisa fazer aqui é determinar o núcleo e a imagem da transformação linear . Para isso, vamos usar conceitos de Álgebra Linear, como soluções de sistemas lineares e combinação linear de vetores.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar o núcleo da transformação . O núcleo de uma transformação linear é o conjunto de todos os vetores de entrada que são mapeados para o vetor zero. Ou seja, queremos encontrar todos os pares que satisfazem:
Isso significa que:
Passo 3
Agora, vamos resolver esse sistema de equações. Da primeira equação, já sabemos que . Substituindo na segunda equação, temos . A terceira equação também confirma isso, já que .
Então, a única solução é e . Isso significa que o núcleo de é apenas o vetor zero.
Passo 4
Agora, vamos determinar a imagem da transformação . A imagem é o conjunto de todos os vetores que podem ser obtidos aplicando a transformação a qualquer vetor de entrada. No nosso caso, queremos descrever todos os vetores da forma .
Podemos reescrever isso como uma combinação linear dos vetores e :
Passo 5
Isso mostra que qualquer vetor na imagem de pode ser formado por uma combinação linear dos vetores e . Portanto, a imagem de é o espaço gerado por esses dois vetores, ou seja, é um subespaço bidimensional de .
Resposta
O núcleo da transformação é apenas o vetor zero, ou seja, ú. A imagem de é o subespaço de gerado pelos vetores e , formalmente: