Determine o núcleo e a imagem de cada uma das transformaçōes lineares abaixo:
(b) B(x, y)=(y, x, x+y)

Passo 1

Beleza, vamos resolver juntos esse exercício de transformações lineares! O que a gente precisa fazer aqui é determinar o núcleo e a imagem da transformação linear . Para isso, vamos usar conceitos de Álgebra Linear, como soluções de sistemas lineares e combinação linear de vetores.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar o núcleo da transformação B(x, y) = (0, 0, 0) . O núcleo de uma transformação linear é o conjunto de todos os vetores de entrada que são mapeados para o vetor zero. Ou seja, queremos encontrar todos os pares y = 0 x = 0 x + y = 0 que satisfazem:
Isso significa que:

Passo 3

Agora, vamos resolver esse sistema de equações. Da primeira equação, já sabemos que . Substituindo na segunda equação, temos . A terceira equação também confirma isso, já que .
Então, a única solução é e . Isso significa que o núcleo de é apenas o vetor zero.

Passo 4

Agora, vamos determinar a imagem da transformação (y, x, x + y) = y cdot (1, 0, 1) + x cdot (0, 1, 1) . A imagem é o conjunto de todos os vetores que podem ser obtidos aplicando a transformação a qualquer vetor de entrada. No nosso caso, queremos descrever todos os vetores da forma .
Podemos reescrever isso como uma combinação linear dos vetores e :

Passo 5

Isso mostra que qualquer vetor na imagem de pode ser formado por uma combinação linear dos vetores e . Portanto, a imagem de é o espaço gerado por esses dois vetores, ou seja, é um subespaço bidimensional de .

Resposta

O núcleo da transformação Ima>=m(B) = Span, (1, 0, 1), (0, 1, 1) , é apenas o vetor zero, ou seja, ú. A imagem de é o subespaço de gerado pelos vetores e , formalmente:

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