Verifique se as afirmações a seguir são verdadeiras ou falsas. Justifique. é base de
Passo 1
Então, o enunciado está pedindo para a gente verificar se o conjunto de vetores é uma base para o espaço gerado por esses mesmos vetores. A matéria aqui é sobre bases e independência linear. Vamos precisar entender o que é uma base e como verificar se os vetores são linearmente independentes.
Passo 2
Primeiro, uma base de um espaço vetorial é um conjunto de vetores que é linearmente independente e que gera todo o espaço. Gerar o espaço significa que qualquer vetor no espaço pode ser escrito como uma combinação linear desses vetores.
Passo 3
Como queremos saber se é uma base para o espaço que eles mesmos geram, já sabemos que eles geram esse espaço por definição. Então, o que precisamos verificar é se esses dois vetores são linearmente independentes.
Passo 4
Para verificar a independência linear, assumimos que existe uma combinação linear desses vetores que resulta no vetor zero. Ou seja, queremos ver se:
Isso nos dá o sistema de equações:
Passo 5
Resolvendo o sistema:
Da terceira equação: →
Da segunda equação: →
A primeira equação já está satisfeita com e
Como a única solução é e , os vetores são linearmente independentes.
Resposta
Verdadeiro. O conjunto é uma base do espaço gerado por esses vetores porque são linearmente independentes e geram o espaço.