Verifique se as afirmações a seguir são verdadeiras ou falsas. Justifique.
é base de

Passo 1

Então, o enunciado está pedindo para a gente verificar se o conjunto de vetores é uma base para o espaço gerado por esses mesmos vetores. A matéria aqui é sobre bases e independência linear. Vamos precisar entender o que é uma base e como verificar se os vetores são linearmente independentes.

Passo 2

Primeiro, uma base de um espaço vetorial é um conjunto de vetores que é linearmente independente e que gera todo o espaço. Gerar o espaço significa que qualquer vetor no espaço pode ser escrito como uma combinação linear desses vetores.

Passo 3

Como queremos saber se é uma base para o espaço que eles mesmos geram, já sabemos que eles geram esse espaço por definição. Então, o que precisamos verificar é se esses dois vetores são linearmente independentes.

Passo 4

Para verificar a independência linear, assumimos que existe uma combinação linear desses vetores que resulta no vetor zero. Ou seja, queremos ver se:
Isso nos dá o sistema de equações:

Passo 5

Resolvendo o sistema:
  • Da terceira equação:
  • Da segunda equação:
  • A primeira equação já está satisfeita com e
Como a única solução é e , os vetores são linearmente independentes.

Resposta

Verdadeiro. O conjunto é uma base do espaço gerado por esses vetores porque são linearmente independentes e geram o espaço.

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Considerando a definição de elemento invertível em um anel, responda aos questionamentos abaixo:
Quem são os elementos invertíveis no anel ?
Seja o anel de polinômios com coeficientes em (aqui todos os coeficientes são 0 ou 1 e a soma e o produto entre eles é feita módulo 2 ). Prove que é um corpo.
A função definida por é um homomorfismo de anéis?
Quem são os elementos invertíveis no anel ?