Verifique se as afirmações a seguir são verdadeiras ou falsas. Justifique.
(1,0,4),(7,8,0) é base de [(1,0,4),(7,8,0)]

Passo 1

Então, o enunciado está pedindo para a gente verificar se o conjunto de vetores (1,0,4),(7,8,0) é uma base para o espaço gerado por esses mesmos vetores. A matéria aqui é sobre bases e independência linear. Vamos precisar entender o que é uma base e como verificar se os vetores são linearmente independentes.

Passo 2

Primeiro, uma base de um espaço vetorial é um conjunto de vetores que é linearmente independente e que gera todo o espaço. Gerar o espaço significa que qualquer vetor no espaço pode ser escrito como uma combinação linear desses vetores.

Passo 3

Como queremos saber se (1,0,4),(7,8,0) é uma base para o espaço que eles mesmos geram, já sabemos que eles geram esse espaço por definição. Então, o que precisamos verificar é se esses dois vetores são linearmente independentes.

Passo 4

Para verificar a independência linear, assumimos que existe uma combinação linear desses vetores que resulta no vetor zero. Ou seja, queremos ver se:
a(1,0,4) + b(7,8,0) = (0,0,0)
Isso nos dá o sistema de equações:
a + 7b = 0 0a + 8b = 0 4a + 0b = 0

Passo 5

Resolvendo o sistema:
  • Da terceira equação: 4a = 0 a = 0
  • Da segunda equação: 8b = 0 b = 0
  • A primeira equação já está satisfeita com a = 0 e b = 0
Como a única solução é a = 0 e b = 0, os vetores são linearmente independentes.

Resposta

Verdadeiro. O conjunto (1,0,4),(7,8,0) é uma base do espaço gerado por esses vetores porque são linearmente independentes e geram o espaço.

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