A função f: Z10 Z10 definida por f(x)=2 x é um homomorfismo de anéis?

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente verificar se a função , definida por , é um homomorfismo de anéis. Isso está dentro da matéria de álgebra abstrata, especificamente no estudo de homomorfismos de anéis. Para resolver, a gente vai precisar entender o que é um homomorfismo de anéis e checar se a função satisfaz as propriedades necessárias.

Passo 2

Primeiro, bora lembrar o que é um homomorfismo de anéis. Basicamente, é uma função entre dois anéis que respeita as operações de adição e multiplicação. Ou seja, para todos os elementos e em :
  1. Preservação da adição:
  2. Preservação da multiplicação:
  3. Preservação do elemento identidade:
Vamos verificar se a função cumpre essas três propriedades.

Passo 3

Checando a preservação da adição:
Vamos pegar dois elementos quaisquer em f(a + b) = 2(a + b) = 2a + 2b , digamos f(a) + f(b) = 2a + 2b e .
Calculando :
Agora, calculando :
Como , a função preserva a adição.

Passo 4

Checando a preservação da multiplicação:
Vamos novamente pegar dois elementos quaisquer em f(a cdot b) = 2(a cdot b) = 2ab , f(a) cdot f(b) = (2a) cdot (2b) = 4ab e f(1 cdot 1) = 2 cdot 1 = 2 .
Calculando f(1) cdot f(1) = 2 cdot 2 = 4 :
Agora, calculando :
Em , e podem não ser iguais. Por exemplo, se e :
Como em , a função não preserva a multiplicação.

Passo 5

Checando a preservação do elemento identidade:
O elemento identidade em f(1) = 2 cdot 1 = 2 é 1.
Calculando :
Como e o elemento identidade em é 1, isso significa que . Portanto, a função não preserva o elemento identidade.

Resposta

Não, a função não é um homomorfismo de anéis.

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