A função
definida por
é um homomorfismo de anéis?
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente verificar se a função
, definida por
, é um homomorfismo de anéis. Isso está dentro da matéria de álgebra abstrata, especificamente no estudo de homomorfismos de anéis. Para resolver, a gente vai precisar entender o que é um homomorfismo de anéis e checar se a função
satisfaz as propriedades necessárias.
Passo 2
Primeiro, bora lembrar o que é um homomorfismo de anéis. Basicamente, é uma função entre dois anéis que respeita as operações de adição e multiplicação. Ou seja, para todos os elementos
e
em
:
- Preservação da adição:
- Preservação da multiplicação:
- Preservação do elemento identidade:
Vamos verificar se a função
cumpre essas três propriedades.
Passo 3
Checando a preservação da adição:
Vamos pegar dois elementos quaisquer em
, digamos
e
.
Calculando
:
Agora, calculando
:
Como
, a função
preserva a adição.
Passo 4
Checando a preservação da multiplicação:
Vamos novamente pegar dois elementos quaisquer em
,
e
.
Calculando
:
Agora, calculando
:
Em
,
e
podem não ser iguais. Por exemplo, se
e
:
Como
em
, a função
não preserva a multiplicação.
Passo 5
Checando a preservação do elemento identidade:
O elemento identidade em
é 1.
Calculando
:
Como
e o elemento identidade em
é 1, isso significa que
. Portanto, a função
não preserva o elemento identidade.
Resposta
Não, a função
não é um homomorfismo de anéis.
Exercícios relacionados
Verifique se as afirmações a seguir são verdadeiras ou falsas. Justifique.
é base de
Considerando a definição de elemento invertível em um anel, responda aos questionamentos abaixo:
Quem são os elementos invertíveis no anel ?
Quem são os elementos invertíveis no anel
Quem são os elementos invertíveis no anel
?
Determine uma base e a dimensão dos seguintes subespaços de
: