Seja Z2[x] o anel de polinômios com coeficientes em Z2 (aqui todos os coeficientes são 0 ou 1 e a soma e o produto entre eles é feita módulo 2 ). Prove que Z2 /lang<= x^2+x+1rang<= é um corpo.

Passo 1

Vamos lá! O enunciado nos pede para provar que Z2/lang<= x^2+x+1rang<= é um corpo. Aqui, estamos trabalhando com polinômios onde os coeficientes são 0 ou 1 (porque estamos em Z2) e as operações de soma e produto são feitas módulo 2. Para resolver isso, precisamos mostrar que o polinômio x^2+x+1 é irreduzível sobre Z2, ou seja, ele não pode ser fatorado em polinômios de grau menor com coeficientes em Z2.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa um polinômio ser irreduzível. Um polinômio é irreduzível sobre um anel se ele não pode ser escrito como o produto de dois polinômios de grau menor que ele, exceto pelas unidades (no nosso caso, 1). Se conseguirmos provar que x^2+x+1 não pode ser fatorado em polinômios de grau 1 em Z2[x], então ele é irreduzível.

Passo 3

Agora, vamos verificar se x^2+x+1 tem raízes em Z2. Se o polinômio tiver uma raiz em Z2, ele pode ser fatorado como (x - a)(x - b), onde a e b são as raízes. Então, testamos os possíveis valores de x em Z2, que são 0 e 1.

Passo 4

Substituindo x = 0:
0^2 + 0 + 1 = 0 + 0 + 1 = 1 neq 0
Então, 0 não é raiz.
Substituindo x = 1:
1^2 + 1 + 1 = 1 + 1 + 1 = 3 equiv 1 (mod 2) neq 0
Então, 1 também não é raiz.

Passo 5

Como x^2+x+1 não tem raízes em Z2, ele não pode ser fatorado em polinômios de grau 1 com coeficientes em Z2. Portanto, o polinômio é irreduzível sobre Z2.

Passo 6

Sabemos que em um anel de polinômios como Z2[x], se um polinômio é irreduzível, o ideal que ele gera é um ideal máximo. E quando a gente toma o quociente de um anel por um ideal máximo, o resultado é um corpo.

Passo 7

Portanto, como x^2+x+1 é irreduzível em Z2[x], o anel Z2/lang<= x^2+x+1rang<= é um corpo.

Resposta

Z2/lang<= x^2+x+1rang<= é um corpo porque x^2+x+1 é irreduzível em Z2[x].

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