Seja o anel de polinômios com coeficientes em (aqui todos os coeficientes são 0 ou 1 e a soma e o produto entre eles é feita módulo 2 ). Prove que é um corpo.

Passo 1

Vamos lá! O enunciado nos pede para provar que é um corpo. Aqui, estamos trabalhando com polinômios onde os coeficientes são 0 ou 1 (porque estamos em ) e as operações de soma e produto são feitas módulo 2. Para resolver isso, precisamos mostrar que o polinômio é irreduzível sobre , ou seja, ele não pode ser fatorado em polinômios de grau menor com coeficientes em .

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa um polinômio ser irreduzível. Um polinômio é irreduzível sobre um anel se ele não pode ser escrito como o produto de dois polinômios de grau menor que ele, exceto pelas unidades (no nosso caso, 1). Se conseguirmos provar que não pode ser fatorado em polinômios de grau 1 em , então ele é irreduzível.

Passo 3

Agora, vamos verificar se tem raízes em . Se o polinômio tiver uma raiz em , ele pode ser fatorado como , onde e são as raízes. Então, testamos os possíveis valores de em , que são 0 e 1.

Passo 4

Substituindo :
Então, 0 não é raiz.
Substituindo :
Então, 1 também não é raiz.

Passo 5

Como não tem raízes em , ele não pode ser fatorado em polinômios de grau 1 com coeficientes em . Portanto, o polinômio é irreduzível sobre .

Passo 6

Sabemos que em um anel de polinômios como , se um polinômio é irreduzível, o ideal que ele gera é um ideal máximo. E quando a gente toma o quociente de um anel por um ideal máximo, o resultado é um corpo.

Passo 7

Portanto, como é irreduzível em , o anel é um corpo.

Resposta

é um corpo porque é irreduzível em .

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