Seja
o anel de polinômios com coeficientes em
(aqui todos os coeficientes são 0 ou 1 e a soma e o produto entre eles é feita módulo 2 ). Prove que
é um corpo.
Passo 1
Vamos lá! O enunciado nos pede para provar que
é um corpo. Aqui, estamos trabalhando com polinômios onde os coeficientes são 0 ou 1 (porque estamos em
) e as operações de soma e produto são feitas módulo 2. Para resolver isso, precisamos mostrar que o polinômio
é irreduzível sobre
, ou seja, ele não pode ser fatorado em polinômios de grau menor com coeficientes em
.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que significa um polinômio ser irreduzível. Um polinômio é irreduzível sobre um anel se ele não pode ser escrito como o produto de dois polinômios de grau menor que ele, exceto pelas unidades (no nosso caso, 1). Se conseguirmos provar que
não pode ser fatorado em polinômios de grau 1 em
, então ele é irreduzível.
Passo 3
Agora, vamos verificar se
tem raízes em
. Se o polinômio tiver uma raiz em
, ele pode ser fatorado como
, onde
e
são as raízes. Então, testamos os possíveis valores de
em
, que são 0 e 1.
Passo 4
Substituindo
:
Então, 0 não é raiz.
Substituindo
:
Então, 1 também não é raiz.
Passo 5
Como
não tem raízes em
, ele não pode ser fatorado em polinômios de grau 1 com coeficientes em
. Portanto, o polinômio é irreduzível sobre
.
Passo 6
Sabemos que em um anel de polinômios como
, se um polinômio é irreduzível, o ideal que ele gera é um ideal máximo. E quando a gente toma o quociente de um anel por um ideal máximo, o resultado é um corpo.
Passo 7
Portanto, como
é irreduzível em
, o anel
é um corpo.
Resposta
Exercícios relacionados
Determine o núcleo e a imagem de cada uma das transformaçōes lineares abaixo:
(b)
(b)
Considere os vetores
Mostre que e
formam uma base para
.
Mostre que
Considerando a definição de elemento invertível em um anel, responda aos questionamentos abaixo:
Quem são os elementos invertíveis no anel ?
Quem são os elementos invertíveis no anel
Verifique se as afirmações a seguir são verdadeiras ou falsas. Justifique.
é base de