Considerando a definição de elemento invertível em um anel, responda aos questionamentos abaixo:
Quem são os elementos invertíveis no anel
?
Quem são os elementos invertíveis no anel
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para descobrir quais são os elementos invertíveis no anel
. Isso significa que estamos trabalhando com matrizes quadradas de ordem
cujas entradas são números inteiros. Para resolver isso, vamos precisar entender o que é um anel, o que significa ser um elemento invertível nesse contexto, e como identificar essas matrizes invertíveis dentro de
.
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar o que é um anel. Um anel é uma estrutura matemática que consiste em um conjunto equipado com duas operações: adição e multiplicação, que se comportam de maneira semelhante aos números inteiros. No nosso caso,
é o anel das matrizes
com entradas em
, os números inteiros.
Passo 3
Agora, vamos falar sobre elementos invertíveis em um anel. Um elemento
em um anel é invertível se existe outro elemento
no mesmo anel tal que:
onde
é a matriz identidade (uma matriz com 1’s na diagonal principal e 0’s nas demais posições). Nesse caso,
é chamado de inverso de
.
Passo 4
Para uma matriz
em
ser invertível, ela precisa ter um inverso que também esteja em
. Isso implica que o determinante de
deve ser um número inteiro que tenha um inverso multiplicativo em
.
Passo 5
No conjunto dos números inteiros
, os únicos números que possuem inversos multiplicativos são
e
, porque:
Qualquer outro inteiro não possui um inverso que seja também inteiro.
Passo 6
Portanto, para que uma matriz
em
seja invertível, seu determinante
deve ser
ou
. Isso garante que o inverso de
também terá entradas inteiras, já que:
onde
é a matriz adjunta de
, que terá entradas inteiras se
.
Resposta
Os elementos invertíveis no anel
são exatamente as matrizes quadradas de ordem
com entradas inteiras cujo determinante é
ou
. Em outras palavras, uma matriz
em
é invertível se e somente se
.
Exercícios relacionados
Determine uma base e a dimensão dos seguintes subespaços de
:
Quem são os elementos invertíveis no anel
?
Prove que no anel
, o elemento
é inversível.
Considerando a definição de elemento invertível em um anel, responda aos questionamentos abaixo:
Quem são os elementos invertíveis no anel dos reais?
Quem são os elementos invertíveis no anel dos reais?