Considerando a definição de elemento invertível em um anel, responda aos questionamentos abaixo:
Quem são os elementos invertíveis no anel Mn[Z]?

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para descobrir quais são os elementos invertíveis no anel . Isso significa que estamos trabalhando com matrizes quadradas de ordem cujas entradas são números inteiros. Para resolver isso, vamos precisar entender o que é um anel, o que significa ser um elemento invertível nesse contexto, e como identificar essas matrizes invertíveis dentro de .

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar o que é um anel. Um anel é uma estrutura matemática que consiste em um conjunto equipado com duas operações: adição e multiplicação, que se comportam de maneira semelhante aos números inteiros. No nosso caso, é o anel das matrizes com entradas em , os números inteiros.

Passo 3

Agora, vamos falar sobre elementos invertíveis em um anel. Um elemento A times B = B times A = I em um anel é invertível se existe outro elemento no mesmo anel tal que:
onde é a matriz identidade (uma matriz com 1’s na diagonal principal e 0’s nas demais posições). Nesse caso, é chamado de inverso de .

Passo 4

Para uma matriz em ser invertível, ela precisa ter um inverso que também esteja em . Isso implica que o determinante de deve ser um número inteiro que tenha um inverso multiplicativo em .

Passo 5

No conjunto dos números inteiros 1 times 1 = 1 , os únicos números que possuem inversos multiplicativos são (-1) times (-1) = 1 e , porque:
Qualquer outro inteiro não possui um inverso que seja também inteiro.

Passo 6

Portanto, para que uma matriz A^-1 = 1det(A) adj(A) em seja invertível, seu determinante deve ser ou . Isso garante que o inverso de também terá entradas inteiras, já que:
onde é a matriz adjunta de , que terá entradas inteiras se .

Resposta

Os elementos invertíveis no anel são exatamente as matrizes quadradas de ordem com entradas inteiras cujo determinante é ou . Em outras palavras, uma matriz em é invertível se e somente se .

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