Determine uma base e a dimensão dos seguintes subespaços de R^3 :
(x, y, z) in R^3 mid x+2 y-z=0

Passo 1

Vamos resolver o exercício de encontrar uma base e a dimensão de um subespaço de R^3 definido pela equação x + 2y - z = 0. Para isso, vamos usar conceitos de álgebra linear como subespaços vetoriais, sistemas lineares e bases.

Passo 2

Primeiro, vamos reescrever a equação x + 2y - z = 0 para expressar uma das variáveis em função das outras. Vamos resolver para x:
x = -2y + z

Passo 3

Agora, podemos expressar um vetor genérico (x, y, z) do subespaço em termos das variáveis livres y e z:
(x, y, z) = (-2y + z, y, z)

Passo 4

Vamos separar os coeficientes das variáveis y e z para identificar os vetores que vão formar a base:
(x, y, z) = y cdot (-2, 1, 0) + z cdot (1, 0, 1)

Passo 5

Isso mostra que qualquer vetor no subespaço pode ser escrito como uma combinação linear dos vetores (-2, 1, 0) e (1, 0, 1). Portanto, esses dois vetores formam uma base para o subespaço.

Passo 6

Como a base possui 2 vetores, a dimensão do subespaço é 2.

Resposta

Uma base para o subespaço é , (-2, 1, 0), (1, 0, 1), e a dimensão é 2.

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