Determine uma base e a dimensão dos seguintes subespaços de :

Passo 1

Vamos resolver o exercício de encontrar uma base e a dimensão de um subespaço de definido pela equação . Para isso, vamos usar conceitos de álgebra linear como subespaços vetoriais, sistemas lineares e bases.

Passo 2

Primeiro, vamos reescrever a equação para expressar uma das variáveis em função das outras. Vamos resolver para :

Passo 3

Agora, podemos expressar um vetor genérico do subespaço em termos das variáveis livres e :

Passo 4

Vamos separar os coeficientes das variáveis e para identificar os vetores que vão formar a base:

Passo 5

Isso mostra que qualquer vetor no subespaço pode ser escrito como uma combinação linear dos vetores e . Portanto, esses dois vetores formam uma base para o subespaço.

Passo 6

Como a base possui 2 vetores, a dimensão do subespaço é 2.

Resposta

Uma base para o subespaço é e a dimensão é .

Exercícios relacionados

Quem são os elementos invertíveis no anel ?
A função definida por é um homomorfismo de anéis?
Considerando a definição de elemento invertível em um anel, responda aos questionamentos abaixo:
Quem são os elementos invertíveis no anel ?
Prove que no anel , o elemento é inversível.