Prove que no anel
, o elemento
é inversível.
Passo 1
Vamos resolver um problema de Álgebra, especificamente no estudo de anéis e elementos inversíveis. O enunciado pede para provar que, no anel quociente
, o elemento
possui um inverso. Para isso, precisaremos entender como funcionam os anéis quocientes e como identificar elementos inversíveis nesse contexto.
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar o que é um anel quociente. Dado um anel
e um ideal
de
, o anel quociente
é formado pelas classes de equivalência dos elementos de
, onde dois elementos são equivalentes se a diferença entre eles está em
. No nosso caso,
e
, que é o ideal gerado pelo polinômio
.
Passo 3
Agora, queremos saber se o elemento
é inversível em
. Para um elemento ser inversível, deve existir outro elemento
em
tal que
, onde
é o elemento neutro do anel. Nosso objetivo é encontrar tal
.
Passo 4
Para encontrar o inverso de
, procuramos um polinômio
em
tal que:
Isso significa que a multiplicação de
por
deve dar um polinômio que, menos 1, seja múltiplo de
.
Passo 5
Vamos resolver a congruência
. Isso é equivalente a encontrar
e
em
tal que:
Esta é uma equação do tipo Bézout, que busca expressar 1 como uma combinação linear de
e
.
Passo 6
Para resolver essa equação, podemos usar o algoritmo de Euclides para encontrar o máximo divisor comum (MDC) de
e
. Como
é linear e não é múltiplo de
, o MDC é 1, o que garante que a equação tem solução.
Passo 7
Aplicando o algoritmo de Euclides:
A partir disso, podemos expressar 1 como:
Portanto, temos:
Passo 8
Comparando com a equação
, podemos identificar que:
Então, o inverso de
no anel quociente é
.
Resposta
No anel
, o elemento
é inversível, e seu inverso é
.
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Considerando a definição de elemento invertível em um anel, responda aos questionamentos abaixo:
Quem são os elementos invertíveis no anel ?
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Determine uma base e a dimensão dos seguintes subespaços de
:
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Quem são os elementos invertíveis no anel dos reais?
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Dados
e
e
e
responda:
?