Prove que no anel Z[x] /lang<= 2 x+1rang<=, o elemento x+lang<= 2 x+1rang<= é inversível.

Passo 1

Vamos resolver um problema de Álgebra, especificamente no estudo de anéis e elementos inversíveis. O enunciado pede para provar que, no anel quociente Z[x] /lang<= 2x+1 rang<=, o elemento x + lang<= 2x+1 rang<= possui um inverso. Para isso, precisaremos entender como funcionam os anéis quocientes e como identificar elementos inversíveis nesse contexto.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar o que é um anel quociente. Dado um anel R e um ideal I de R, o anel quociente R/I é formado pelas classes de equivalência dos elementos de R, onde dois elementos são equivalentes se a diferença entre eles está em I. No nosso caso, R = Z[x] e I = lang<= 2x+1 rang<=, que é o ideal gerado pelo polinômio 2x+1.

Passo 3

Agora, queremos saber se o elemento a = x + lang<= 2x+1 rang<= é inversível em R/I. Para um elemento ser inversível, deve existir outro elemento b em R/I tal que a cdot b = 1 + lang<= 2x+1 rang<=, onde 1 é o elemento neutro do anel. Nosso objetivo é encontrar tal b.

Passo 4

Para encontrar o inverso de a, procuramos um polinômio b(x) em Z[x] tal que:
x cdot b(x) equiv 1 mod lang<= 2x+1 rang<=
Isso significa que a multiplicação de x por b(x) deve dar um polinômio que, menos 1, seja múltiplo de 2x + 1.

Passo 5

Vamos resolver a congruência x cdot b(x) equiv 1 mod (2x+1). Isso é equivalente a encontrar b(x) e q(x) em Z[x] tal que:
x cdot b(x) - (2x + 1) cdot q(x) = 1
Esta é uma equação do tipo Bézout, que busca expressar 1 como uma combinação linear de x e 2x + 1.

Passo 6

Para resolver essa equação, podemos usar o algoritmo de Euclides para encontrar o máximo divisor comum (MDC) de x e 2x + 1. Como 2x + 1 é linear e não é múltiplo de x, o MDC é 1, o que garante que a equação tem solução.

Passo 7

Aplicando o algoritmo de Euclides:
2x + 1 = 2 cdot x + 1 x = x
A partir disso, podemos expressar 1 como:
1 = (2x + 1) - 2x
Portanto, temos:
1 = (2x + 1) - 2x

Passo 8

Comparando com a equação x cdot b(x) - (2x + 1) cdot q(x) = 1, podemos identificar que:
b(x) = -2 q(x) = -1
Então, o inverso de x no anel quociente é -2.

Resposta

No anel Z[x] /lang<= 2x+1 rang<=, o elemento x + lang<= 2x+1 rang<= é inversível, e seu inverso é -2 + lang<= 2x+1 rang<=.

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