Prove que no anel , o elemento é inversível.

Passo 1

Vamos resolver um problema de Álgebra, especificamente no estudo de anéis e elementos inversíveis. O enunciado pede para provar que, no anel quociente , o elemento possui um inverso. Para isso, precisaremos entender como funcionam os anéis quocientes e como identificar elementos inversíveis nesse contexto.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar o que é um anel quociente. Dado um anel e um ideal de , o anel quociente é formado pelas classes de equivalência dos elementos de , onde dois elementos são equivalentes se a diferença entre eles está em . No nosso caso, e , que é o ideal gerado pelo polinômio .

Passo 3

Agora, queremos saber se o elemento é inversível em . Para um elemento ser inversível, deve existir outro elemento em tal que , onde é o elemento neutro do anel. Nosso objetivo é encontrar tal .

Passo 4

Para encontrar o inverso de , procuramos um polinômio em tal que:
Isso significa que a multiplicação de por deve dar um polinômio que, menos 1, seja múltiplo de .

Passo 5

Vamos resolver a congruência . Isso é equivalente a encontrar e em tal que:
Esta é uma equação do tipo Bézout, que busca expressar 1 como uma combinação linear de e .

Passo 6

Para resolver essa equação, podemos usar o algoritmo de Euclides para encontrar o máximo divisor comum (MDC) de e . Como é linear e não é múltiplo de , o MDC é 1, o que garante que a equação tem solução.

Passo 7

Aplicando o algoritmo de Euclides:
A partir disso, podemos expressar 1 como:
Portanto, temos:

Passo 8

Comparando com a equação , podemos identificar que:
Então, o inverso de no anel quociente é .

Resposta

No anel , o elemento é inversível, e seu inverso é .

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Determine uma base e a dimensão dos seguintes subespaços de :
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Dados e e e responda:
?