Quem são os elementos invertíveis no anel ?

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão pergunta sobre quais elementos são invertíveis no anel dos números inteiros, . Isso está relacionado à matéria de álgebra, especificamente no estudo de anéis e seus elementos invertíveis. Para resolver isso, vamos precisar entender o que significa um elemento ser invertível em um anel.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é um anel. Um anel é uma estrutura matemática que possui duas operações: adição e multiplicação, seguindo algumas propriedades específicas. No caso, estamos trabalhando com o anel dos inteiros, .

Passo 3

Agora, vamos falar sobre elementos invertíveis. Em um anel, um elemento é invertível se existir outro elemento no mesmo anel que, quando multiplicados, resultam na identidade da multiplicação do anel. No caso dos inteiros, a identidade da multiplicação é o número 1. Ou seja, queremos encontrar todos os números inteiros tais que existe um número inteiro onde .

Passo 4

Vamos analisar quais inteiros multiplicados por outro inteiro resultam em 1. Vamos testar alguns números:
  • Se , então , porque .
  • Se , então , porque .
  • Para qualquer outro inteiro, por exemplo, não tem solução inteira para .

Passo 5

Assim, os únicos elementos no conjunto dos inteiros que possuem um inverso multiplicativo dentro dos inteiros são e .

Resposta

Os elementos invertíveis no anel são e .

Exercícios relacionados

A função definida por é um homomorfismo de anéis?
Verifique se as afirmações a seguir são verdadeiras ou falsas. Justifique.
é base de
Determine uma base e a dimensão dos seguintes subespaços de :
Considerando a definição de elemento invertível em um anel, responda aos questionamentos abaixo:
Quem são os elementos invertíveis no anel ?