Quem são os elementos invertíveis no anel Z?

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão pergunta sobre quais elementos são invertíveis no anel dos números inteiros, Z. Isso está relacionado à matéria de álgebra, especificamente no estudo de anéis e seus elementos invertíveis. Para resolver isso, vamos precisar entender o que significa um elemento ser invertível em um anel.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é um anel. Um anel é uma estrutura matemática que possui duas operações: adição e multiplicação, seguindo algumas propriedades específicas. No caso, estamos trabalhando com o anel dos inteiros, Z.

Passo 3

Agora, vamos falar sobre elementos invertíveis. Em um anel, um elemento é invertível se existir outro elemento no mesmo anel que, quando multiplicados, resultam na identidade da multiplicação do anel. No caso dos inteiros, a identidade da multiplicação é o número 1. Ou seja, queremos encontrar todos os números inteiros a tais que existe um número inteiro b onde a times b = 1.

Passo 4

Vamos analisar quais inteiros multiplicados por outro inteiro resultam em 1. Vamos testar alguns números:
  • Se a = 1, então b = 1, porque 1 times 1 = 1.
  • Se a = -1, então b = -1, porque -1 times -1 = 1.
  • Para qualquer outro inteiro, por exemplo, 2 times b = 1 não tem solução inteira para b.

Passo 5

Assim, os únicos elementos no conjunto dos inteiros que possuem um inverso multiplicativo dentro dos inteiros são 1 e -1.

Resposta

Os elementos invertíveis no anel Z são 1 e -1.

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