Quem são os elementos invertíveis no anel
?
Passo 1
Beleza, vamos lá! A questão pergunta sobre quais elementos são invertíveis no anel dos números inteiros,
. Isso está relacionado à matéria de álgebra, especificamente no estudo de anéis e seus elementos invertíveis. Para resolver isso, vamos precisar entender o que significa um elemento ser invertível em um anel.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é um anel. Um anel é uma estrutura matemática que possui duas operações: adição e multiplicação, seguindo algumas propriedades específicas. No caso, estamos trabalhando com o anel dos inteiros,
.
Passo 3
Agora, vamos falar sobre elementos invertíveis. Em um anel, um elemento é invertível se existir outro elemento no mesmo anel que, quando multiplicados, resultam na identidade da multiplicação do anel. No caso dos inteiros, a identidade da multiplicação é o número 1. Ou seja, queremos encontrar todos os números inteiros
tais que existe um número inteiro
onde
.
Passo 4
Vamos analisar quais inteiros multiplicados por outro inteiro resultam em 1. Vamos testar alguns números:
- Se
, então , porque . - Se
, então , porque . - Para qualquer outro inteiro, por exemplo,
não tem solução inteira para .
Passo 5
Assim, os únicos elementos no conjunto dos inteiros que possuem um inverso multiplicativo dentro dos inteiros são
e
.
Resposta
Os elementos invertíveis no anel
são
e
.
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A função
definida por
é um homomorfismo de anéis?
Verifique se as afirmações a seguir são verdadeiras ou falsas. Justifique.
é base de
Determine uma base e a dimensão dos seguintes subespaços de
:
Considerando a definição de elemento invertível em um anel, responda aos questionamentos abaixo:
Quem são os elementos invertíveis no anel ?
Quem são os elementos invertíveis no anel