Considerando a definição de elemento invertível em um anel, responda aos questionamentos abaixo:
Quem são os elementos invertíveis no anel dos racionais?
Quem são os elementos invertíveis no anel dos racionais?
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado está perguntando sobre os elementos invertíveis no anel dos racionais. Isso significa que vamos explorar quais números racionais têm um inverso multiplicativo dentro desse conjunto. Para resolver isso, vamos precisar entender o que é um anel e o que significa um elemento ser inversível nesse contexto.
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar o que é um anel. Um anel é uma estrutura matemática que possui duas operações: adição e multiplicação, que seguem certas propriedades. No caso do anel dos racionais, estamos falando dos números racionais (
) com as operações usuais de adição e multiplicação.
Passo 3
Agora, vamos falar sobre elementos invertíveis em um anel. Um elemento
em um anel é invertível se existir outro elemento
no mesmo anel tal que:
Aqui,
é o elemento neutro da multiplicação no anel.
Passo 4
No anel dos racionais, queremos encontrar todos os números
que têm um inverso
tal que:
Isso significa que
é o inverso multiplicativo de
.
Passo 5
Vamos considerar quais números racionais têm esse tipo de inverso. Se
, onde
e
são inteiros e
, então seu inverso seria
.
Passo 6
Para que
seja um número racional válido,
também precisa ser diferente de zero. Se
, então
, e não existe um inverso multiplicativo para zero (pois
).
Passo 7
Portanto, todos os números racionais diferentes de zero têm um inverso multiplicativo dentro do anel dos racionais.
Resposta
Os elementos invertíveis no anel dos racionais são todos os números racionais diferentes de zero.
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(a)
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No corpo
, resolva:
A equação
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?
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:
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