Dados os vetores
, qual é a dimensão de
?
Passo 1
Beleza, vamos lá! A questão nos dá três vetores no espaço tridimensional:
,
e
. A pergunta é: qual é a dimensão do conjunto formado por esses vetores, ou seja,
? Para resolver isso, vamos precisar entender sobre independência linear e dimensão de um espaço gerado por vetores.
Passo 2
Primeiro, vamos revisar o que significa a dimensão de um conjunto de vetores. A dimensão é o número máximo de vetores que são linearmente independentes nesse conjunto. Se todos os vetores puderem ser escritos como combinações dos outros, a dimensão será menor que a quantidade total de vetores.
Passo 3
Agora, vamos verificar se os vetores são linearmente independentes. Dois vetores são linearmente independentes se nenhum dos dois é múltiplo do outro. Três vetores são linearmente independentes se nenhum deles pode ser escrito como uma combinação linear dos outros dois.
Passo 4
Vamos observar os vetores dados:
-
é igual a vezes , ou seja, . -
�� igual a vezes , ou seja, .
Isso mostra que tanto
quanto
são múltiplos de
.
Passo 5
Como
e
são apenas múltiplos de
, todos os vetores do conjunto
são dependentes linearmente. Isso significa que só precisamos de um vetor para gerar todo o conjunto.
Passo 6
Portanto, a maior quantidade de vetores linearmente independentes nesse conjunto é 1. Logo, a dimensão de
é 1.
Resposta
A dimensão de
é igual a 1.