Dados os vetores v1=(3,-2,4), v2=(-3,2,-4), v3=(-6,4,-8), qual é a dimensão de [v1, v2, v3] ?

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão nos dá três vetores no espaço tridimensional: , e . A pergunta é: qual é a dimensão do conjunto formado por esses vetores, ou seja, ? Para resolver isso, vamos precisar entender sobre independência linear e dimensão de um espaço gerado por vetores.

Passo 2

Primeiro, vamos revisar o que significa a dimensão de um conjunto de vetores. A dimensão é o número máximo de vetores que são linearmente independentes nesse conjunto. Se todos os vetores puderem ser escritos como combinações dos outros, a dimensão será menor que a quantidade total de vetores.

Passo 3

Agora, vamos verificar se os vetores são linearmente independentes. Dois vetores são linearmente independentes se nenhum dos dois é múltiplo do outro. Três vetores são linearmente independentes se nenhum deles pode ser escrito como uma combinação linear dos outros dois.

Passo 4

Vamos observar os vetores dados:
  • é igual a vezes , ou seja, .
  • �� igual a vezes , ou seja, .
Isso mostra que tanto quanto são múltiplos de .

Passo 5

Como e são apenas múltiplos de , todos os vetores do conjunto são dependentes linearmente. Isso significa que só precisamos de um vetor para gerar todo o conjunto.

Passo 6

Portanto, a maior quantidade de vetores linearmente independentes nesse conjunto é 1. Logo, a dimensão de é 1.

Resposta

A dimensão de é igual a 1.

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