Determine a matriz de passagem da base para a base :
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Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício de mudança de base! A gente tem duas bases no espaço tridimensional :
  • A base
  • A base
Nosso objetivo aqui é encontrar a matriz de passagem da base para a base . Isso significa que queremos uma matriz que, quando multiplicada pelas coordenadas de um vetor em relação à base , nos dê as coordenadas desse mesmo vetor na base .

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é uma matriz de passagem. Ela serve para converter as coordenadas de um vetor de uma base para outra. Para isso, precisamos expressar cada vetor da base em termos da base .
Ou seja, queremos escrever cada vetor de como uma combinação linear dos vetores de .

Passo 3

Vamos começar com o primeiro vetor de , que é . Queremos encontrar escalares , e tais que:
Onde , e .

Passo 4

Vamos montar o sistema de equações para encontrar , e :
Resolvendo a terceira equação primeiro:
Substituindo na segunda equação:
E substituindo e na primeira equação:
Então, , , .

Passo 5

Portanto, o primeiro vetor de pode ser escrito como:
Isso significa que a primeira coluna da matriz de passagem será .

Passo 6

Agora, vamos fazer o mesmo para o segundo vetor de , que é :
Montando o sistema:
Da terceira equação:
Substituindo na segunda equação:
E substituindo , na primeira equação:
Então, , , .

Passo 7

Assim, o segundo vetor de fica:
A segunda coluna da matriz de passagem será .

Passo 8

Por fim, vamos analisar o terceiro vetor de , que é :
Montamos o sistema:
Da terceira equação:
Substituindo na segunda equação:
E substituindo , na primeira equação:
Então, , , .

Passo 9

Portanto, o terceiro vetor de é:
A terceira coluna da matriz de passagem será .

Resposta

A matriz de passagem da base para a base é:

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Seja um anel. Mostre que se para quaisquer , então é um anel comutativo.
Verifique se as afirmações a seguir são verdadeiras ou falsas. Justifique.
é um plano no que passa pela origem.