Determine a matriz de passagem da base U para a base V :
© U=(1,1,1),(0,1,1),(0,0,1), V=(1,1,1),(1,1,0),(1,0,0)

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício de mudança de base! A gente tem duas bases no espaço tridimensional :
  • A base
  • A base
Nosso objetivo aqui é encontrar a matriz de passagem da base para a base . Isso significa que queremos uma matriz que, quando multiplicada pelas coordenadas de um vetor em relação à base , nos dê as coordenadas desse mesmo vetor na base .

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é uma matriz de passagem. Ela serve para converter as coordenadas de um vetor de uma base para outra. Para isso, precisamos expressar cada vetor da base em termos da base .
Ou seja, queremos escrever cada vetor de como uma combinação linear dos vetores de .

Passo 3

Vamos começar com o primeiro vetor de u1 = a cdot v1 + b cdot v2 + c cdot v3 , que é . Queremos encontrar escalares , e tais que:
Onde , e .

Passo 4

Vamos montar o sistema de equações para encontrar 1 = a cdot 1 + b cdot 1 + c cdot 1 1 = a cdot 1 + b cdot 1 + c cdot 0 1 = a cdot 1 + b cdot 0 + c cdot 0 , 1 = a cdot 1 Rightarrow a = 1 e 1 = 1 + b Rightarrow b = 0 :
1 = 1 + 0 + c Rightarrow c = 0
Resolvendo a terceira equação primeiro:
Substituindo na segunda equação:
E substituindo e na primeira equação:
Então, , , .

Passo 5

Portanto, o primeiro vetor de u1 = 1 cdot v1 + 0 cdot v2 + 0 cdot v3 pode ser escrito como:
1 0 0
Isso significa que a primeira coluna da matriz de passagem será .

Passo 6

Agora, vamos fazer o mesmo para o segundo vetor de u2 = a cdot v1 + b cdot v2 + c cdot v3 , que é 0 = a cdot 1 + b cdot 1 + c cdot 1 1 = a cdot 1 + b cdot 1 + c cdot 0 1 = a cdot 1 + b cdot 0 + c cdot 0 :
1 = a Rightarrow a = 1
Montando o sistema:
1 = 1 + b Rightarrow b = 0
Da terceira equação:
0 = 1 + 0 + c Rightarrow c = -1
Substituindo na segunda equação:
E substituindo , na primeira equação:
Então, , , .

Passo 7

Assim, o segundo vetor de u2 = 1 cdot v1 + 0 cdot v2 -1 cdot v3 fica:
1 0 -1
A segunda coluna da matriz de passagem será .

Passo 8

Por fim, vamos analisar o terceiro vetor de u3 = a cdot v1 + b cdot v2 + c cdot v3 , que é 0 = a cdot 1 + b cdot 1 + c cdot 1 0 = a cdot 1 + b cdot 1 + c cdot 0 1 = a cdot 1 + b cdot 0 + c cdot 0 :
1 = a Rightarrow a = 1
Montamos o sistema:
0 = 1 + b Rightarrow b = -1
Da terceira equação:
0 = 1 -1 + c Rightarrow c = 0
Substituindo na segunda equação:
E substituindo , na primeira equação:
Então, , , .

Passo 9

Portanto, o terceiro vetor de u3 = 1 cdot v1 -1 cdot v2 + 0 cdot v3 é:
1 -1 0
A terceira coluna da matriz de passagem será .

Resposta

A matriz de passagem da base PU to V = 1 & 1 & 1 0 & 0 & -1 0 & -1 & 0 para a base é:

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