Beleza, vamos resolver esse exercício de mudança de base! A gente tem duas bases no espaço tridimensional :
A base
A base
Nosso objetivo aqui é encontrar a matriz de passagem da base para a base . Isso significa que queremos uma matriz que, quando multiplicada pelas coordenadas de um vetor em relação à base , nos dê as coordenadas desse mesmo vetor na base .
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é uma matriz de passagem. Ela serve para converter as coordenadas de um vetor de uma base para outra. Para isso, precisamos expressar cada vetor da base em termos da base .
Ou seja, queremos escrever cada vetor de como uma combinação linear dos vetores de .
Passo 3
Vamos começar com o primeiro vetor de , que é . Queremos encontrar escalares , e tais que:
Onde , e .
Passo 4
Vamos montar o sistema de equações para encontrar , e :
Resolvendo a terceira equação primeiro:
Substituindo na segunda equação:
E substituindo e na primeira equação:
Então, , , .
Passo 5
Portanto, o primeiro vetor de u1 = 1 cdot v1 + 0 cdot v2 + 0 cdot v3 pode ser escrito como:
1 0 0
Isso significa que a primeira coluna da matriz de passagem será .
Passo 6
Agora, vamos fazer o mesmo para o segundo vetor de u2 = a cdot v1 + b cdot v2 + c cdot v3 , que é 0 = a cdot 1 + b cdot 1 + c cdot 1 1 = a cdot 1 + b cdot 1 + c cdot 0 1 = a cdot 1 + b cdot 0 + c cdot 0 :
1 = a Rightarrow a = 1
Montando o sistema:
1 = 1 + b Rightarrow b = 0
Da terceira equação:
0 = 1 + 0 + c Rightarrow c = -1
Substituindo na segunda equação:
E substituindo , na primeira equação:
Então, , , .
Passo 7
Assim, o segundo vetor de u2 = 1 cdot v1 + 0 cdot v2 -1 cdot v3 fica:
1 0 -1
A segunda coluna da matriz de passagem será .
Passo 8
Por fim, vamos analisar o terceiro vetor de u3 = a cdot v1 + b cdot v2 + c cdot v3 , que é 0 = a cdot 1 + b cdot 1 + c cdot 1 0 = a cdot 1 + b cdot 1 + c cdot 0 1 = a cdot 1 + b cdot 0 + c cdot 0 :
1 = a Rightarrow a = 1
Montamos o sistema:
0 = 1 + b Rightarrow b = -1
Da terceira equação:
0 = 1 -1 + c Rightarrow c = 0
Substituindo na segunda equação:
E substituindo , na primeira equação:
Então, , , .
Passo 9
Portanto, o terceiro vetor de u3 = 1 cdot v1 -1 cdot v2 + 0 cdot v3 é:
1 -1 0
A terceira coluna da matriz de passagem será .
Resposta
A matriz de passagem da base PU to V = 1 & 1 & 1 0 & 0 & -1 0 & -1 & 0 para a base é: