Beleza, vamos resolver esse exercício de mudança de base! A gente tem duas bases no espaço tridimensional :
A base
A base
Nosso objetivo aqui é encontrar a matriz de passagem da base para a base . Isso significa que queremos uma matriz que, quando multiplicada pelas coordenadas de um vetor em relação à base , nos dê as coordenadas desse mesmo vetor na base .
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é uma matriz de passagem. Ela serve para converter as coordenadas de um vetor de uma base para outra. Para isso, precisamos expressar cada vetor da base em termos da base .
Ou seja, queremos escrever cada vetor de como uma combinação linear dos vetores de .
Passo 3
Vamos começar com o primeiro vetor de , que é . Queremos encontrar escalares , e tais que:
Onde , e .
Passo 4
Vamos montar o sistema de equações para encontrar , e :
Resolvendo a terceira equação primeiro:
Substituindo na segunda equação:
E substituindo e na primeira equação:
Então, , , .
Passo 5
Portanto, o primeiro vetor de pode ser escrito como:
Isso significa que a primeira coluna da matriz de passagem será .
Passo 6
Agora, vamos fazer o mesmo para o segundo vetor de , que é :
Montando o sistema:
Da terceira equação:
Substituindo na segunda equação:
E substituindo , na primeira equação:
Então, , , .
Passo 7
Assim, o segundo vetor de fica:
A segunda coluna da matriz de passagem será .
Passo 8
Por fim, vamos analisar o terceiro vetor de , que é :