Considerando as definições do problema 1, defina agora o tetravetor aceleração como a derivada da velocidade U em relação ao tempo próprio, ou seja, A=d U / d tau. Mostre que:
A=gamma(u)(c d gamma(u)d t, d gamma(u)d t u+gamma(u) a)
onde a é a aceleração (3D) medida no referencial S, e onde
d gamma(u)d t=gamma^3(u) u cdot ac^2
Mostre também que, no referencial instantâneo de repouso, temos A=(0, a).

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede pra gente definir o tetravetor aceleração como a derivada da velocidade em relação ao tempo próprio , ou seja, . A matéria que vamos usar aqui é a Relatividade Especial, especificamente os conceitos de 4-velocidade e 4-aceleração. Pra resolver isso, vamos precisar entender como calcular derivadas de vetores no espaço-tempo e aplicar a definição de fator de Lorentz .

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é a 4-velocidade U = gamma(u) ( c, u ) . Ela é definida como:
Aqui, é o fator de Lorentz, é a velocidade da luz, e é a velocidade tridimensional no referencial .

Passo 3

Agora, queremos achar a 4-aceleração A = dUdtau , que é a derivada de A = dUdt cdot dtdtau = gamma(u) dUdt em relação ao tempo próprio :
Mas como está relacionado com o tempo do referencial ? Sabemos que . Então, usando a regra da cadeia, temos:

Passo 4

Vamos calcular dUdt = dgamma(u)dt (c, u) + gamma(u) ( 0, dudt ) . Como dUdt = dgamma(u)dt (c, u) + gamma(u) (0, a) , a derivada fica:
Lembrando que , que é a aceleração no referencial , temos:

Passo 5

Agora, substituímos de volta na expressão de A = gamma(u) [ dgamma(u)dt (c, u) + gamma(u) (0, a) ] :
A = gamma(u) dgamma(u)dt (c, u) + gamma^2(u) (0, a)
Distribuindo A = gamma(u) ( c dgamma(u)dt, dgamma(u)dt u + gamma(u) a ) :
Isso pode ser reescrito como:

Passo 6

Agora, vamos mostrar que dgamma(u)dt = ddt ( 1raiz1 - u^2c^2 ) = gamma^3(u) u cdot ac^2 .
Começamos derivando A = gamma(u) ( c gamma^3(u) u cdot ac^2, gamma^3(u) u cdot ac^2 u + gamma(u) a ) :
A = gamma(u) ( gamma^3(u) u cdot ac, gamma^3(u) u cdot ac^2 u + gamma(u) a )
Substituindo isso na expressão de :
Simplificando:

Resposta

Portanto, mostramos que o tetravetor aceleração é dado por:
A = gamma(u) ( c dgamma(u)dt, dgamma(u)dt u + gamma(u) a )
E que no referencial instantâneo de repouso, onde A = (0, a) , temos:

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