Considerando as definições do problema 1, defina agora o tetravetor aceleração como a derivada da velocidade em relação ao tempo próprio, ou seja, . Mostre que:
onde é a aceleração (3D) medida no referencial S, e onde
Mostre também que, no referencial instantâneo de repouso, temos .
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede pra gente definir o tetravetor aceleração como a derivada da velocidade em relação ao tempo próprio , ou seja, . A matéria que vamos usar aqui é a Relatividade Especial, especificamente os conceitos de 4-velocidade e 4-aceleração. Pra resolver isso, vamos precisar entender como calcular derivadas de vetores no espaço-tempo e aplicar a definição de fator de Lorentz .
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é a 4-velocidade . Ela é definida como:
Aqui, é o fator de Lorentz, é a velocidade da luz, e é a velocidade tridimensional no referencial .
Passo 3
Agora, queremos achar a 4-aceleração , que é a derivada de em relação ao tempo próprio :
Mas como está relacionado com o tempo do referencial ? Sabemos que . Então, usando a regra da cadeia, temos:
Passo 4
Vamos calcular . Como , a derivada fica:
Lembrando que , que é a aceleração no referencial , temos:
Passo 5
Agora, substituímos de volta na expressão de :
Distribuindo :
Isso pode ser reescrito como:
Passo 6
Agora, vamos mostrar que .
Começamos derivando :
Substituindo isso na expressão de :
Simplificando:
Resposta
Portanto, mostramos que o tetravetor aceleração é dado por:
E que no referencial instantâneo de repouso, onde , temos: