Considerando f(x) = (4 - x) / x, determine a expressão e o domínio de cada uma das funções abaixo.
f(1/x) - 1/f(x)

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem a função e precisa encontrar a expressão e o domínio da função . Vamos usar conceitos de funções compostas e entender como manipular essas expressões para descobrir o que a gente precisa.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar . Isso significa que vamos substituir por na função . Então:

Passo 3

Agora, vamos calcular , que é simplesmente o inverso da função . Portanto:

Passo 4

Com as duas partes calculadas, vamos agora subtrair de :

Passo 5

Vamos simplificar a expressão. Primeiro, simplificamos :
Então, nossa expressão fica:
Para unir esses termos, colocamos em um denominador comum:
Expandindo o numerador:
Então:
Podemos fatorar o numerador:
Assim, a expressão final simplificada é:

Passo 6

Agora, vamos determinar o domínio da função . O domínio são todos os valores de para os quais a expressão está definida. Precisamos considerar três coisas:
  1. porque aparece no denominador original.
  2. para evitar divisão por zero na função original.
  3. , mas isso já está coberto pelo .
Portanto, o domínio é todos os reais exceto e .

Resposta

A expressão simplificada de é:
E o domínio dessa função é:

Exercícios relacionados