Considerando
, determine a expressão e o domínio de cada uma das funções abaixo.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem a função
e precisa encontrar a expressão e o domínio da função
. Vamos usar conceitos de funções compostas e entender como manipular essas expressões para descobrir o que a gente precisa.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar
. Isso significa que vamos substituir
por
na função
. Então:
Passo 3
Agora, vamos calcular
, que é simplesmente o inverso da função
. Portanto:
Passo 4
Com as duas partes calculadas, vamos agora subtrair
de
:
Passo 5
Vamos simplificar a expressão. Primeiro, simplificamos
:
Então, nossa expressão fica:
Para unir esses termos, colocamos em um denominador comum:
Expandindo o numerador:
Então:
Podemos fatorar o numerador:
Assim, a expressão final simplificada é:
Passo 6
Agora, vamos determinar o domínio da função
. O domínio são todos os valores de
para os quais a expressão está definida. Precisamos considerar três coisas:
-
porque aparece no denominador original. -
para evitar divisão por zero na função original. -
, mas isso já está coberto pelo .
Portanto, o domínio é todos os reais exceto
e
.
Resposta
A expressão simplificada de
é:
E o domínio dessa função é: