Considerando uma distribuição massa esfericamente simétrica e um fluido incompressível e assumindo que o fluido encontra-se em equilíbrio dinâmico, determine a distribuição de pressão radial, p(r), neste caso.

Passo 1

Vamos resolver um exercício sobre como a pressão varia em um fluido incompressível que está em equilíbrio dinâmico, dentro de uma distribuição de massa que é simetricamente esférica. Para isso, vamos usar conceitos de estática de fluidos e equações de equilíbrio.

Passo 2

Primeiro, precisamos entender que em equilíbrio dinâmico, a força resultante sobre qualquer elemento do fluido é zero. Isso significa que a pressão e a força gravitacional estão balanceadas.

Passo 3

Em coordenadas esféricas, a variação da pressão radial dpdr = -rho g(r) pode ser descrita pela equação de equilíbrio hidrostático:
onde é a densidade do fluido e é a aceleração da gravidade a uma distância do centro.

Passo 4

Sabemos que a aceleração da gravidade g(r) = G M(r)r^2 em uma distribuição esférica de massa é dada por:
onde é a constante gravitacional e é a massa contida dentro de um raio .

Passo 5

Para uma massa esfericamente simétrica e fluido incompressível, a massa M(r) = 43 pi r^3 rho dentro de um raio é:

Passo 6

Substituindo g(r) = G ( 43 pi r^3 rho )r^2 = 43 pi G rho r na expressão de :

Passo 7

Agora, substituímos dpdr = -rho ( 43 pi G rho r ) = -43 pi G rho^2 r na equação de equilíbrio hidrostático:

Passo 8

Integramos a equação diferencial para encontrar p(r) = -43 pi G rho^2 integral r , dr + C = -23 pi G rho^2 r^2 + C :

Passo 9

Determinar a constante de integração 0 = -23 pi G rho^2 R^2 + C implies C = 23 pi G rho^2 R^2 . Sabemos que na superfície do fluido ( ), a pressão é zero:

Passo 10

Substituímos p(r) = 23 pi G rho^2 R^2 - 23 pi G rho^2 r^2 = 23 pi G rho^2 (R^2 - r^2) na expressão de :

Resposta

A distribuição de pressão radial é dada por:
p(r) = 23 pi G rho^2 (R^2 - r^2)

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