Considerando uma distribuição massa esfericamente simétrica e um fluido incompressível e assumindo que o fluido encontra-se em equilíbrio dinâmico, determine a distribuição de pressão radial,
, neste caso.
Passo 1
Vamos resolver um exercício sobre como a pressão varia em um fluido incompressível que está em equilíbrio dinâmico, dentro de uma distribuição de massa que é simetricamente esférica. Para isso, vamos usar conceitos de estática de fluidos e equações de equilíbrio.
Passo 2
Primeiro, precisamos entender que em equilíbrio dinâmico, a força resultante sobre qualquer elemento do fluido é zero. Isso significa que a pressão e a força gravitacional estão balanceadas.
Passo 3
Em coordenadas esféricas, a variação da pressão radial
pode ser descrita pela equação de equilíbrio hidrostático:
onde
é a densidade do fluido e
é a aceleração da gravidade a uma distância
do centro.
Passo 4
Sabemos que a aceleração da gravidade
em uma distribuição esférica de massa é dada por:
onde
é a constante gravitacional e
é a massa contida dentro de um raio
.
Passo 5
Para uma massa esfericamente simétrica e fluido incompressível, a massa
dentro de um raio
é:
Passo 6
Substituindo
na expressão de
:
Passo 7
Agora, substituímos
na equação de equilíbrio hidrostático:
Passo 8
Integramos a equação diferencial para encontrar
:
Passo 9
Determinar a constante de integração
. Sabemos que na superfície do fluido (
), a pressão é zero:
Passo 10
Substituímos
na expressão de
:
Resposta
A distribuição de pressão radial é dada por: