Considerando uma distribuição massa esfericamente simétrica e um fluido incompressível e assumindo que o fluido encontra-se em equilíbrio dinâmico, determine a distribuição de pressão radial, , neste caso.

Passo 1

Vamos resolver um exercício sobre como a pressão varia em um fluido incompressível que está em equilíbrio dinâmico, dentro de uma distribuição de massa que é simetricamente esférica. Para isso, vamos usar conceitos de estática de fluidos e equações de equilíbrio.

Passo 2

Primeiro, precisamos entender que em equilíbrio dinâmico, a força resultante sobre qualquer elemento do fluido é zero. Isso significa que a pressão e a força gravitacional estão balanceadas.

Passo 3

Em coordenadas esféricas, a variação da pressão radial pode ser descrita pela equação de equilíbrio hidrostático:
onde é a densidade do fluido e é a aceleração da gravidade a uma distância do centro.

Passo 4

Sabemos que a aceleração da gravidade em uma distribuição esférica de massa é dada por:
onde é a constante gravitacional e é a massa contida dentro de um raio .

Passo 5

Para uma massa esfericamente simétrica e fluido incompressível, a massa dentro de um raio é:

Passo 6

Substituindo na expressão de :

Passo 7

Agora, substituímos na equação de equilíbrio hidrostático:

Passo 8

Integramos a equação diferencial para encontrar :

Passo 9

Determinar a constante de integração . Sabemos que na superfície do fluido ( ), a pressão é zero:

Passo 10

Substituímos na expressão de :

Resposta

A distribuição de pressão radial é dada por:

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