Considerando o domínio de discurso U = Z, determine se cada afirmação a seguir é verdadeira ou falsa (Justifique demonstrando a afirmação ou sua negação, dependendo do caso).
(g) ∃y(∀x(x + y)) é par )).

Passo 1

Beleza, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos como domínio de discurso os números inteiros, . A afirmação é: “Existe um número y tal que, para todo número x, a soma é par.” O conteúdo aqui envolve lógica de quantificadores e paridade de números. Para resolver, vamos analisar se existe algum inteiro y que, independentemente do inteiro x que escolhermos, a soma deles sempre dá um número par.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que um número é par se ele é divisível por 2, ou seja, pode ser escrito como , onde k é um inteiro. Agora, vamos pensar na soma . Queremos que essa soma seja sempre par. Então, precisamos que para qualquer , seja par.

Passo 3

Vamos considerar os possíveis casos para y:
  1. y é par: Se y for par, então para algum inteiro k. Agora, se x for par, digamos , então , que é par. Se x for ímpar, , então , que é ímpar. Portanto, se y é par, a soma pode ser ímpar.
  2. y é ímpar: Se y for ímpar, então para algum inteiro k. Se x for par, , então , que é ímpar. Se x for ímpar, , então , que é par. Portanto, se y é ímpar, a soma também pode ser ímpar ou par, dependendo de x.

Passo 4

Observamos que, independentemente de y ser par ou ímpar, sempre existe um x que faz a soma ser ímpar. Isso significa que não existe um único valor de y que garanta que seja par para todo .

Resposta

A afirmação é falsa. Não existe um número inteiro y que, para todo , a soma seja sempre par.

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