Considerando o domínio de discurso
, determine se cada afirmação a seguir é verdadeira ou falsa (Justifique demonstrando a afirmação ou sua negação, dependendo do caso).
(g)
é par
.
(g)
Passo 1
Beleza, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos como domínio de discurso os números inteiros,
. A afirmação é: “Existe um número
tal que, para todo número
, a soma
é par.” O conteúdo aqui envolve lógica de quantificadores e paridade de números. Para resolver, vamos analisar se existe algum inteiro
que, independentemente do inteiro
que escolhermos, a soma deles sempre dá um número par.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que um número é par se ele é divisível por 2, ou seja, pode ser escrito como
, onde
é um inteiro. Agora, vamos pensar na soma
. Queremos que essa soma seja sempre par. Então, precisamos que para qualquer
,
seja par.
Passo 3
Vamos considerar os possíveis casos para
:
-
é par: Se for par, então para algum inteiro . Agora, se for par, digamos , então , que é par. Se for ímpar, , então , que é ímpar. Portanto, se é par, a soma pode ser ímpar. -
é ímpar: Se for ímpar, então para algum inteiro . Se for par, , então , que é ímpar. Se for ímpar, , então , que é par. Portanto, se é ímpar, a soma também pode ser ímpar ou par, dependendo de .
Passo 4
Observamos que, independentemente de
ser par ou ímpar, sempre existe um
que faz a soma
ser ímpar. Isso significa que não existe um único valor de
que garanta que
seja par para todo
.
Resposta
A afirmação é falsa. Não existe um número inteiro
que, para todo
, a soma
seja sempre par.
Exercícios relacionados
Considerando o domínio de discurso
, determine se cada afirmação a seguir é verdadeira ou falsa (Justifique demonstrando a afirmação ou sua negação, dependendo do caso).
(b) .
(b)
Demonstre as seguintes afirmações pelo método da redução ao absurdo:
(a) Não existem soluções inteiras positivas para a equação .
(a) Não existem soluções inteiras positivas para a equação
Descreva os conjuntos abaixo na forma enumerativa:
(d)
(d)
Considere o universo
e os subconjuntos
,
e
. Determine:
(e) e
.
(e)