Demonstre as seguintes afirmações pelo método da redução ao absurdo:
(a) Não existem soluções inteiras positivas para a equação
.
(a) Não existem soluções inteiras positivas para a equação
Passo 1
Então, a gente tem uma equação:
e o desafio é mostrar que não existem números inteiros positivos que resolvam essa equação. A matéria aqui envolve álgebra, especificamente sobre equações envolvendo quadrados e talvez um pouco de teoria dos números para provar isso usando o método da redução ao absurdo, que é basicamente assumir o contrário para chegar a uma contradição.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que significa
. Sabemos que
e
são inteiros positivos, então
e
também são números quadrados perfeitos. A equação está dizendo que a diferença entre dois quadrados perfeitos é 10.
Passo 3
Agora, vamos lembrar do método da redução ao absurdo. A ideia é assumir que existe uma solução inteira positiva para a equação e depois mostrar que isso leva a uma contradição, provando assim que nossa suposição inicial estava errada.
Passo 4
Assumamos que existem inteiros positivos
e
que satisfazem
. Podemos reescrever isso como
.
Passo 5
Sabemos que
e
são quadrados perfeitos. Vamos analisar os possíveis valores de
. Como
(porque
), vamos testar valores de
para ver se
também é um quadrado perfeito.
Passo 6
Vamos tentar valores pequenos de
:
- Se
, então , que não é um quadrado perfeito. - Se
, então , que não é um quadrado perfeito. - Se
, então , que não é um quadrado perfeito. - Se
, então , que não é um quadrado perfeito. - Se
, então , que não é um quadrado perfeito.
Passo 7
Observamos que, quanto maior
, maior será
, mas para cada
,
não resulta em um quadrado perfeito. Isso sugere que não existe nenhum inteiro positivo
que satisfaça a equação.
Resposta
Portanto, concluímos que não existem soluções inteiras positivas para a equação
.