Demonstre as seguintes afirmações pelo método da redução ao absurdo:
(a) Não existem soluções inteiras positivas para a equação x^2 - y^2 = 10.

Passo 1

Então, a gente tem uma equação: e o desafio é mostrar que não existem números inteiros positivos que resolvam essa equação. A matéria aqui envolve álgebra, especificamente sobre equações envolvendo quadrados e talvez um pouco de teoria dos números para provar isso usando o método da redução ao absurdo, que é basicamente assumir o contrário para chegar a uma contradição.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa . Sabemos que e são inteiros positivos, então e também são números quadrados perfeitos. A equação está dizendo que a diferença entre dois quadrados perfeitos é 10.

Passo 3

Agora, vamos lembrar do método da redução ao absurdo. A ideia é assumir que existe uma solução inteira positiva para a equação e depois mostrar que isso leva a uma contradição, provando assim que nossa suposição inicial estava errada.

Passo 4

Assumamos que existem inteiros positivos e que satisfazem . Podemos reescrever isso como .

Passo 5

Sabemos que e são quadrados perfeitos. Vamos analisar os possíveis valores de . Como (porque ), vamos testar valores de para ver se também é um quadrado perfeito.

Passo 6

Vamos tentar valores pequenos de :
  • Se , então , que não é um quadrado perfeito.
  • Se , então , que não é um quadrado perfeito.
  • Se , então , que não é um quadrado perfeito.
  • Se , então , que não é um quadrado perfeito.
  • Se , então , que não é um quadrado perfeito.

Passo 7

Observamos que, quanto maior , maior será , mas para cada , não resulta em um quadrado perfeito. Isso sugere que não existe nenhum inteiro positivo que satisfaça a equação.

Resposta

Portanto, concluímos que não existem soluções inteiras positivas para a equação .

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