Considerando o domínio de discurso U = Z, determine se cada afirmação a seguir é verdadeira ou falsa (Justifique demonstrando a afirmação ou sua negação, dependendo do caso).
(e) forall x (exists y (x * y = 0)).

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede pra gente verificar se a afirmação é verdadeira ou falsa, considerando que estamos trabalhando com os números inteiros ( Z). Vamos precisar entender os quantificadores lógicos (para todo) e (existe), e como eles funcionam com multiplicação dentro dos inteiros.

Passo 2

Primeiro, a afirmação está dizendo que para todo número inteiro x, existe um número inteiro y tal que . Vamos pensar em como isso funciona.

Passo 3

Se x for zero, ou seja, x = 0, então qualquer valor de y vai satisfazer a equação . Não importa qual número inteiro a gente escolher para y, o produto sempre será zero.

Passo 4

Agora, se x for diferente de zero, digamos , por exemplo, precisamos encontrar um número inteiro y que, multiplicado por 5, dê zero. A única possibilidade aqui é , porque .

Passo 5

Isso vale para qualquer x != 0: sempre podemos escolher para que . Portanto, não importa qual inteiro x a gente pegar, sempre tem um y (especificamente ) que satisfaz a equação.

Resposta

A afirmação é verdadeira.

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