Considerando o domínio de discurso , determine se cada afirmação a seguir é verdadeira ou falsa (Justifique demonstrando a afirmação ou sua negação, dependendo do caso).
(e) .

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede pra gente verificar se a afirmação é verdadeira ou falsa, considerando que estamos trabalhando com os números inteiros ( ). Vamos precisar entender os quantificadores lógicos (para todo) e (existe), e como eles funcionam com multiplicação dentro dos inteiros.

Passo 2

Primeiro, a afirmação está dizendo que para todo número inteiro , existe um número inteiro tal que . Vamos pensar em como isso funciona.

Passo 3

Se for zero, ou seja, , então qualquer valor de vai satisfazer a equação . Não importa qual número inteiro a gente escolher para , o produto sempre será zero.

Passo 4

Agora, se for diferente de zero, digamos , por exemplo, precisamos encontrar um número inteiro que, multiplicado por 5, dê zero. A única possibilidade aqui é , porque .

Passo 5

Isso vale para qualquer : sempre podemos escolher para que . Portanto, não importa qual inteiro a gente pegar, sempre tem um (especificamente ) que satisfaz a equação.

Resposta

A afirmação é verdadeira.

Exercícios relacionados

Demonstre as seguintes equivalências:
(b) Sejam dados inteiros com . Então, divide se e somente se divide .
Demonstre as seguintes afirmações pelo método da contraposição:
(a) Se e são dois números inteiros cujo produto é par, então pelo menos um dos dois deve ser par.
Descreva os conjuntos abaixo na forma enumerativa:
(b)
Considere o universo e os subconjuntos , e . Determine:
(b) e .