Considerando o domínio de discurso
, determine se cada afirmação a seguir é verdadeira ou falsa (Justifique demonstrando a afirmação ou sua negação, dependendo do caso).
(e)
.
(e)
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede pra gente verificar se a afirmação
é verdadeira ou falsa, considerando que estamos trabalhando com os números inteiros (
). Vamos precisar entender os quantificadores lógicos
(para todo) e
(existe), e como eles funcionam com multiplicação dentro dos inteiros.
Passo 2
Primeiro, a afirmação está dizendo que para todo número inteiro
, existe um número inteiro
tal que
. Vamos pensar em como isso funciona.
Passo 3
Se
for zero, ou seja,
, então qualquer valor de
vai satisfazer a equação
. Não importa qual número inteiro a gente escolher para
, o produto sempre será zero.
Passo 4
Agora, se
for diferente de zero, digamos
, por exemplo, precisamos encontrar um número inteiro
que, multiplicado por 5, dê zero. A única possibilidade aqui é
, porque
.
Passo 5
Isso vale para qualquer
: sempre podemos escolher
para que
. Portanto, não importa qual inteiro
a gente pegar, sempre tem um
(especificamente
) que satisfaz a equação.
Resposta
A afirmação é verdadeira.
Exercícios relacionados
Demonstre as seguintes equivalências:
(b) Sejam dados inteiros com
. Então,
divide
se e somente se
divide
.
(b) Sejam dados
Demonstre as seguintes afirmações pelo método da contraposição:
(a) Se e
são dois números inteiros cujo produto é par, então pelo menos um dos dois deve ser par.
(a) Se
Descreva os conjuntos abaixo na forma enumerativa:
(b)
(b)
Considere o universo
e os subconjuntos
,
e
. Determine:
(b) e
.
(b)