Demonstre as seguintes afirmações pelo método da contraposição:
(a) Se
e
são dois números inteiros cujo produto é par, então pelo menos um dos dois deve ser par.
(a) Se
Passo 1
Vamos resolver esse exercício que pede para demonstrar, usando o método da contraposição, que se temos dois números inteiros
e
cujo produto é par, então pelo menos um dos dois deve ser par. Aqui, vamos usar conceitos de paridade e lógica matemática para chegar à solução.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que significa “produto ser par”. Um número é par se pode ser dividido por 2 sem deixar resto. Então, se
é par, pelo menos um dos números
ou
deve ser par.
Passo 3
O método da contraposição é uma técnica de prova em que, ao invés de provar diretamente uma afirmação “Se P, então Q”, provamos a afirmativa contrária “Se não Q, então não P”. Essas duas afirmações são logicamente equivalentes.
Passo 4
Aplicando a contraposição ao nosso enunciado: queremos provar que “Se
é par, então pelo menos um de
ou
é par” é equivalente a “Se nenhum dos dois
e
é par, então
não é par”.
Passo 5
Vamos assumir agora que nenhum dos dois números
e
é par. Isso significa que ambos são ímpares.
Passo 6
Sabemos que um número ímpar pode ser representado como
, onde
é um inteiro. Então, vamos escrever:
onde
e
são inteiros.
Passo 7
Agora, vamos calcular o produto
:
Isso mostra que
é da forma
, onde
é um inteiro.
Passo 8
Como
, concluímos que
é ímpar.
Passo 9
Assim, mostramos que se nenhum dos dois números é par (ou seja, ambos são ímpares), então o produto
também é ímpar. Isso prova a contrapositiva da afirmação original.
Passo 10
Portanto, pela lógica da contraposição, concluímos que se
é par, então pelo menos um dos números
ou
deve ser par.
Resposta
Demonstrado que se
é par, então pelo menos um dos números
ou
é par.
Exercícios relacionados
Demonstre as seguintes afirmações pelo método direto:
(b) Se e
são ímpares, então
é um número par.
(b) Se
Para cada afirmação a seguir, escreva a sua negação. (Considere que as afirmações se referem a números reais.)
(d) .
(d)
Demonstre as seguintes equivalências:
(b) Sejam dados inteiros com
. Então,
divide
se e somente se
divide
.
(b) Sejam dados
Considerando o domínio de discurso
, determine se cada afirmação a seguir é verdadeira ou falsa (Justifique demonstrando a afirmação ou sua negação, dependendo do caso).
(e) .
(e)