Demonstre as seguintes afirmações pelo método da contraposição:
(a) Se e são dois números inteiros cujo produto é par, então pelo menos um dos dois deve ser par.

Passo 1

Vamos resolver esse exercício que pede para demonstrar, usando o método da contraposição, que se temos dois números inteiros e cujo produto é par, então pelo menos um dos dois deve ser par. Aqui, vamos usar conceitos de paridade e lógica matemática para chegar à solução.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa “produto ser par”. Um número é par se pode ser dividido por 2 sem deixar resto. Então, se é par, pelo menos um dos números ou deve ser par.

Passo 3

O método da contraposição é uma técnica de prova em que, ao invés de provar diretamente uma afirmação “Se P, então Q”, provamos a afirmativa contrária “Se não Q, então não P”. Essas duas afirmações são logicamente equivalentes.

Passo 4

Aplicando a contraposição ao nosso enunciado: queremos provar que “Se é par, então pelo menos um de ou é par” é equivalente a “Se nenhum dos dois e é par, então não é par”.

Passo 5

Vamos assumir agora que nenhum dos dois números e é par. Isso significa que ambos são ímpares.

Passo 6

Sabemos que um número ímpar pode ser representado como , onde é um inteiro. Então, vamos escrever:
onde e são inteiros.

Passo 7

Agora, vamos calcular o produto :
Isso mostra que é da forma , onde é um inteiro.

Passo 8

Como , concluímos que é ímpar.

Passo 9

Assim, mostramos que se nenhum dos dois números é par (ou seja, ambos são ímpares), então o produto também é ímpar. Isso prova a contrapositiva da afirmação original.

Passo 10

Portanto, pela lógica da contraposição, concluímos que se é par, então pelo menos um dos números ou deve ser par.

Resposta

Demonstrado que se é par, então pelo menos um dos números ou é par.

Exercícios relacionados

Demonstre as seguintes afirmações pelo método direto:
(b) Se e são ímpares, então é um número par.
Para cada afirmação a seguir, escreva a sua negação. (Considere que as afirmações se referem a números reais.)
(d) .
Demonstre as seguintes equivalências:
(b) Sejam dados inteiros com . Então, divide se e somente se divide .
Considerando o domínio de discurso , determine se cada afirmação a seguir é verdadeira ou falsa (Justifique demonstrando a afirmação ou sua negação, dependendo do caso).
(e) .