Demonstre as seguintes equivalências:
(b) Sejam dados a, b, c inteiros com c != 0. Então, a divide b se e somente se a c divide b c.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado fala sobre números inteiros , e , sendo que não é zero. A gente precisa mostrar que divide se e somente se divide . Isso está ligado ao conteúdo de divisibilidade na matemática, especialmente sobre como multiplicar ambos os lados de uma divisão por um número não nulo.

Passo 2

Primeiro, vamos mostrar que se divide , então divide .
Se divide , isso significa que existe um inteiro tal que:
Agora, multiplicamos ambos os lados da equação por :
Isso quer dizer que divide porque é igual a vezes algum inteiro .

Passo 3

Agora, vamos provar o outro sentido: se divide , então divide .
Sabemos que divide significa que existe um inteiro tal que:
Podemos simplificar dividindo ambos os lados por (já que ):
Isso mostra que divide porque é igual a vezes um inteiro .

Resposta

Portanto, mostramos que divide se e somente se divide , desde que seja um inteiro diferente de zero.

Exercícios relacionados