Demonstre as seguintes equivalências:
(b) Sejam dados inteiros com . Então, divide se e somente se divide .

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado fala sobre números inteiros , e , sendo que não é zero. A gente precisa mostrar que divide se e somente se divide . Isso está ligado ao conteúdo de divisibilidade na matemática, especialmente sobre como multiplicar ambos os lados de uma divisão por um número não nulo.

Passo 2

Primeiro, vamos mostrar que se divide , então divide .
Se divide , isso significa que existe um inteiro tal que:
Agora, multiplicamos ambos os lados da equação por :
Isso quer dizer que divide porque é igual a vezes algum inteiro .

Passo 3

Agora, vamos provar o outro sentido: se divide , então divide .
Sabemos que divide significa que existe um inteiro tal que:
Podemos simplificar dividindo ambos os lados por (já que ):
Isso mostra que divide porque é igual a vezes um inteiro .

Resposta

Portanto, mostramos que divide se e somente se divide , desde que seja um inteiro diferente de zero.

Exercícios relacionados

Demonstre as seguintes afirmações pelo método da contraposição:
(a) Se e são dois números inteiros cujo produto é par, então pelo menos um dos dois deve ser par.
Demonstre as seguintes afirmações pelo método direto:
(b) Se e são ímpares, então é um número par.
Considerando o domínio de discurso , determine se cada afirmação a seguir é verdadeira ou falsa (Justifique demonstrando a afirmação ou sua negação, dependendo do caso).
(e) .
Descreva os conjuntos abaixo na forma enumerativa:
(b)