Demonstre as seguintes equivalências:
(b) Sejam dados
inteiros com
. Então,
divide
se e somente se
divide
.
(b) Sejam dados
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado fala sobre números inteiros
,
e
, sendo que
não é zero. A gente precisa mostrar que
divide
se e somente se
divide
. Isso está ligado ao conteúdo de divisibilidade na matemática, especialmente sobre como multiplicar ambos os lados de uma divisão por um número não nulo.
Passo 2
Primeiro, vamos mostrar que se
divide
, então
divide
.
Se
divide
, isso significa que existe um inteiro
tal que:
Agora, multiplicamos ambos os lados da equação por
:
Isso quer dizer que
divide
porque
é igual a
vezes algum inteiro
.
Passo 3
Agora, vamos provar o outro sentido: se
divide
, então
divide
.
Sabemos que
divide
significa que existe um inteiro
tal que:
Podemos simplificar dividindo ambos os lados por
(já que
):
Isso mostra que
divide
porque
é igual a
vezes um inteiro
.
Resposta
Portanto, mostramos que
divide
se e somente se
divide
, desde que
seja um inteiro diferente de zero.
Exercícios relacionados
Demonstre as seguintes afirmações pelo método da contraposição:
(a) Se e
são dois números inteiros cujo produto é par, então pelo menos um dos dois deve ser par.
(a) Se
Demonstre as seguintes afirmações pelo método direto:
(b) Se e
são ímpares, então
é um número par.
(b) Se
Considerando o domínio de discurso
, determine se cada afirmação a seguir é verdadeira ou falsa (Justifique demonstrando a afirmação ou sua negação, dependendo do caso).
(e) .
(e)
Descreva os conjuntos abaixo na forma enumerativa:
(b)
(b)