Considerando um elétron ( m=9,109 cdot 10^-31 kg ) como uma partícula na caixa unidimensional, calcule a energia de ponto zero (ou seja, a energia do estado fundamental), a energia do primeiro estado excitado (n=2 ) e a diferença de energia entre os estados n=1 e n=2 para caixas com L igual a :
a) 1,00 nm
b) 10,0 nm
c) 10,0 cm
Em qual conclusão podemos chegar com base nesses resultados referente ao efeito do confinamento sobre a quantização da energia?

Passo 1

Beleza, vamos lá! Você me passou um exercício sobre “elétron na caixa unidimensional”, que é um conceito de mecânica quântica. A gente vai calcular a energia do estado fundamental (quando o elétron está no menor nível de energia possível, chamado de energia de ponto zero), a energia do primeiro estado excitado (quando o elétron salta para o próximo nível de energia), e a diferença entre essas energias para caixas com diferentes tamanhos: 1 nm, 10 nm e 10 cm. Para resolver isso, vamos precisar usar a fórmula da energia quantizada para uma partícula em uma caixa unidimensional:
En = n^2 h^28 m L^2
Onde:
  • é a energia do estado
  • é o número quântico (1 para o estado fundamental, 2 para o primeiro excitado, etc.)
  • é a constante de Planck ( J·s)
  • é a massa do elétron ( kg)
  • é o tamanho da caixa

Passo 2

Primeiro, vamos calcular a energia do estado fundamental ( E1 = 1^2 times h^28 times m times L^2 ) para cada tamanho de caixa. Usando a fórmula:
E1 = (6,626 times 10^-34)^28 times 9,109 times 10^-31 times (1,00 times 10^-9)^2
Vamos calcular para cada caso:

a) E1 approx 4,39 times 10^-677,287 times 10^-49 approx 6,02 times 10^-19 J nm ( E1 approx 6,02 times 10^-191,602 times 10^-19 approx 3,76 eV m)

E1 = (6,626 times 10^-34)^28 times 9,109 times 10^-31 times (10,0 times 10^-9)^2
E1 approx 4,39 times 10^-677,287 times 10^-47 approx 6,02 times 10^-21 J
Convertendo para elétron-volts (1 eV = E1 approx 6,02 times 10^-211,602 times 10^-19 approx 0,0376 eV J):
E1 = (6,626 times 10^-34)^28 times 9,109 times 10^-31 times (10,0 times 10^-2)^2

b) E1 approx 4,39 times 10^-677,287 times 10^-33 approx 6,02 times 10^-35 J nm ( E1 approx 6,02 times 10^-351,602 times 10^-19 approx 3,76 times 10^-16 eV m)

c) cm ( m)

Passo 3

Agora, vamos calcular a energia do primeiro estado excitado ( E2 = 2^2 times h^28 times m times L^2 = 4 times E1 ) para cada caixa. A fórmula é a mesma, mas com E2 = 4 times 3,76 eV = 15,04 eV :
E2 = 4 times 0,0376 eV = 0,1504 eV
Então, basta multiplicar a energia do estado fundamental por 4.

a) E2 = 4 times 3,76 times 10^-16 eV = 1,504 times 10^-15 eV nm

b) nm

c) cm

Passo 4

Agora, vamos encontrar a diferença de energia entre os estados De e De para cada caixa:
De

a) De nm

b) nm

c) cm

Passo 5

Por fim, vamos analisar os resultados. Observamos que conforme o tamanho da caixa aumenta, tanto as energias do estado fundamental e excitado diminuem, assim como a diferença entre elas. Isso acontece porque em caixas maiores, o elétron tem mais espaço para se mover, reduzindo a quantização da energia. Ou seja, quanto maior o confinamento (caixa menor), maiores são as diferenças de energia entre os estados. Isso mostra que o confinamento forte leva a níveis de energia mais espaçados, enquanto confinamentos mais fracos resultam em níveis de energia mais próximos.

Resposta

A energia de ponto zero ( ) para as caixas de nm, nm e cm são aproximadamente 3,76 eV, 0,0376 eV e 3,76 \times 10^{-16} eV respectivamente. A energia do primeiro estado excitado ( ) são 15,04 eV, 0,1504 eV e 1,504 \times 10^{-15} eV respectivamente. A diferença de energia entre os estados e é 11,28 eV, 0,1128 eV e 1,128 \times 10^{-15} eV para cada caixa. Concluímos que quanto menor o tamanho da caixa (maior o confinamento), maior a quantização das energias, ou seja, as diferenças de energia entre os estados aumentam com o confinamento mais forte.

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