Considerando x em R, encontre as soluções das seguintes inequações:
(g) x^3 - 2 x ≥ x^2

Passo 1

Beleza, vamos resolver a inequação . Aqui, estamos lidando com uma inequação polinomial do terceiro grau. Para resolver isso, vamos precisar rearranjar os termos, encontrar as raízes do polinômio resultante e analisar os sinais para determinar os intervalos em que a inequação é verdadeira.

Passo 2

Primeiro, vamos trazer todos os termos para um lado da inequação para facilitar a análise. Subtraindo de ambos os lados, temos:
Isso simplifica para:

Passo 3

Agora, vamos fatorar a expressão à esquerda para encontrar as raízes (valores de que tornam a expressão igual a zero). Primeiro, identificamos um fator comum em todos os termos:
Em seguida, fatoramos o polinômio quadrático dentro do parêntese:
Portanto, a expressão completa fatorada fica:

Passo 4

Agora que temos os fatores, as raízes da equação são , e . Essas raízes dividem a reta real em quatro intervalos:

Passo 5

Vamos analisar o sinal da expressão em cada um desses intervalos:
  1. Para :
    • é negativo
    • é negativo
    • é negativo
    • Produto: negativo × negativo × negativo = negativo
  2. Para :
    • é negativo
    • é negativo
    • é positivo
    • Produto: negativo × negativo × positivo = positivo
  3. Para :
    • é positivo
    • é negativo
    • é positivo
    • Produto: positivo × negativo × positivo = negativo
  4. Para :
    • é positivo
    • é positivo
    • é positivo
    • Produto: positivo × positivo × positivo = positivo

Passo 6

Como a inequação é , buscamos os intervalos onde o produto é maior ou igual a zero. Observando os sinais:
  • Intervalo : positivo
  • Intervalo : positivo
Além disso, nos pontos onde o produto é zero ( ), a inequação também é satisfeita.

Resposta

As soluções da inequação são todos os números reais no intervalo e . Em notação, fica:

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