Considerando
, encontre as soluções das seguintes inequações:
(g)
(g)
Passo 1
Beleza, vamos resolver a inequação
. Aqui, estamos lidando com uma inequação polinomial do terceiro grau. Para resolver isso, vamos precisar rearranjar os termos, encontrar as raízes do polinômio resultante e analisar os sinais para determinar os intervalos em que a inequação é verdadeira.
Passo 2
Primeiro, vamos trazer todos os termos para um lado da inequação para facilitar a análise. Subtraindo
de ambos os lados, temos:
Isso simplifica para:
Passo 3
Agora, vamos fatorar a expressão à esquerda para encontrar as raízes (valores de
que tornam a expressão igual a zero). Primeiro, identificamos um fator comum em todos os termos:
Em seguida, fatoramos o polinômio quadrático dentro do parêntese:
Portanto, a expressão completa fatorada fica:
Passo 4
Agora que temos os fatores, as raízes da equação
são
,
e
. Essas raízes dividem a reta real em quatro intervalos:
Passo 5
Vamos analisar o sinal da expressão
em cada um desses intervalos:
-
Para
: -
é negativo -
é negativo -
é negativo - Produto: negativo × negativo × negativo = negativo
-
-
Para
: -
é negativo -
é negativo -
é positivo - Produto: negativo × negativo × positivo = positivo
-
-
Para
: -
é positivo -
é negativo -
é positivo - Produto: positivo × negativo × positivo = negativo
-
-
Para
: -
é positivo -
é positivo -
é positivo - Produto: positivo × positivo × positivo = positivo
-
Passo 6
Como a inequação é
, buscamos os intervalos onde o produto é maior ou igual a zero. Observando os sinais:
- Intervalo
: positivo - Intervalo
: positivo
Além disso, nos pontos onde o produto é zero (
), a inequação também é satisfeita.
Resposta
As soluções da inequação
são todos os números reais no intervalo
e
. Em notação, fica:
Exercícios relacionados
Expresse os polinômios abaixo como produtos de termos
, onde
são suas raízes:
(b)
(b)
Construa o gráfico do hiperboloide de duas folhas dado pela equação, apresentando um estudo de seus traços.
(a) .
(a)
Seja
uma constante positiva. Determine o(s) valor(es) de
para o(s) qual(is) a integral imprópria
é convergente e aquele(s) para o(s) qual(is) é divergente.
Resolva as seguintes desigualdades
.