Construa o gráfico do hiperboloide de duas folhas dado pela equação, apresentando um estudo de seus traços.
(a) .

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente precisa desenhar o gráfico do hiperboloide de duas folhas que é definido pela equação:
Para isso, vamos usar conceitos de geometria espacial, especialmente sobre superfícies quádricas. Vamos analisar os traços dessa superfície nos planos coordenados para entender melhor sua forma.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar que tipo de superfície estamos lidando. A equação dada é um hiperboloide de duas folhas. Isso significa que a superfície tem duas partes separadas que se abrem em direções opostas. A equação geral de um hiperboloide de duas folhas é:
Comparando com a equação dada, vemos que:

Passo 3

Vamos agora analisar os traços da superfície nos planos coordenados para entender sua forma.
Traço no plano (quando ):
Substituindo na equação:
Multiplicando ambos os lados por 16 para simplificar:
Essa é a equação de uma hipérbole.
Traço no plano (quando ):
Substituindo :
Essa também é a equação de uma hipérbole, indicando como a superfície se corta nesse plano.
Traço no plano (quando ):
Substituindo :
Multiplicando por -1:
Essa equação não tem solução real, o que significa que não há interseção da superfície com o plano .

Passo 4

Com esses traços, podemos visualizar o hiperboloide de duas folhas. Ele terá duas “folhas” simétricas em relação ao plano , abertas ao longo do eixo . As interseções no plano e nos mostram as hipérboles que definem a forma da superfície.

Passo 5

Para desenhar o gráfico, seguimos esses passos:
  1. Desenhe as hipérboles resultantes nos planos e .
  2. Observe que não há interseção com o plano .
  3. Conecte as hipérboles de forma simétrica ao redor do eixo para formar as duas folhas do hiperboloide.

Resposta

O gráfico do hiperboloide de duas folhas dado pela equação
possui duas folhas simétricas abertas ao longo do eixo , com traços hiperbólicos nos planos e , e sem interseção com o plano .

Exercícios relacionados

Construa o gráfico do hiperboloide de uma folha dado pela equação, apresentando um estudo de seus traços.
(e) .
Para as equações abaixo, encontre as soluções e determine em que condições elas são reais e em que condições são complexas:
(a) , com
Expresse os polinômios abaixo como produtos de termos , onde são suas raízes:
(b)
Considerando , encontre as soluções das seguintes inequações:
(g)