Construa o gráfico do hiperboloide de duas folhas dado pela equação, apresentando um estudo de seus traços.
(a)
.
(a)
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente precisa desenhar o gráfico do hiperboloide de duas folhas que é definido pela equação:
Para isso, vamos usar conceitos de geometria espacial, especialmente sobre superfícies quádricas. Vamos analisar os traços dessa superfície nos planos coordenados para entender melhor sua forma.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar que tipo de superfície estamos lidando. A equação dada é um hiperboloide de duas folhas. Isso significa que a superfície tem duas partes separadas que se abrem em direções opostas. A equação geral de um hiperboloide de duas folhas é:
Comparando com a equação dada, vemos que:
Passo 3
Vamos agora analisar os traços da superfície nos planos coordenados para entender sua forma.
Traço no plano
(quando
):
Substituindo
na equação:
Multiplicando ambos os lados por 16 para simplificar:
Essa é a equação de uma hipérbole.
Traço no plano
(quando
):
Substituindo
:
Essa também é a equação de uma hipérbole, indicando como a superfície se corta nesse plano.
Traço no plano
(quando
):
Substituindo
:
Multiplicando por -1:
Essa equação não tem solução real, o que significa que não há interseção da superfície com o plano
.
Passo 4
Com esses traços, podemos visualizar o hiperboloide de duas folhas. Ele terá duas “folhas” simétricas em relação ao plano
, abertas ao longo do eixo
. As interseções no plano
e
nos mostram as hipérboles que definem a forma da superfície.
Passo 5
Para desenhar o gráfico, seguimos esses passos:
- Desenhe as hipérboles resultantes nos planos
e . - Observe que não há interseção com o plano
. - Conecte as hipérboles de forma simétrica ao redor do eixo
para formar as duas folhas do hiperboloide.
Resposta
O gráfico do hiperboloide de duas folhas dado pela equação
possui duas folhas simétricas abertas ao longo do eixo
, com traços hiperbólicos nos planos
e
, e sem interseção com o plano
.
Exercícios relacionados
Construa o gráfico do hiperboloide de uma folha dado pela equação, apresentando um estudo de seus traços.
(e) .
(e)
Para as equações abaixo, encontre as soluções e determine em que condições elas são reais e em que condições são complexas:
(a) , com
(a)
Expresse os polinômios abaixo como produtos de termos
, onde
são suas raízes:
(b)
(b)
Considerando
, encontre as soluções das seguintes inequações:
(g)
(g)