Seja
uma constante positiva. Determine o(s) valor(es) de
para o(s) qual(is) a integral imprópria
é convergente e aquele(s) para o(s) qual(is) é divergente.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem que analisar a integral imprópria
. Isso envolve cálculo de integrais onde o integrando (a função dentro da integral) pode ter comportamentos estranhos nos limites de integração, como tendendo ao infinito. O conteúdo principal aqui é o Cálculo Integral, mais especificamente integrais impróprias. Para resolver isso, a gente precisa saber como integrar funções do tipo
e entender quando essa integração resulta em um valor finito (convergente) ou infinito (divergente).
Passo 2
Primeiro, vamos reescrever a função que estamos integrando para facilitar a compreensão. Temos:
Então, a integral fica:
Passo 3
Agora, vamos integrar
. A regra de integração para potências de
é:
onde
é a constante de integração, e essa regra vale para
.
No nosso caso,
, então a integral fica:
Passo 4
Vamos agora avaliar a integral definida de 0 a 1:
Simplificando, temos:
Passo 5
Agora, vamos analisar o limite
:
- Se
(ou seja, ), então tende a 0 quando tende a 0. - Se
(ou seja, ), então temos . - Se
(ou seja, ), então tende ao infinito quando tende a 0.
Passo 6
Vamos agora considerar os diferentes casos:
- Quando
:
Então, a integral fica:
Isso é um número finito, então a integral é convergente.
- Quando
:
A integral se torna:
Portanto, a integral é divergente.
- Quando
:
Então, a integral fica:
Isso significa que a integral é divergente.
Resposta
A integral imprópria
é convergente quando
e divergente quando
.
Exercícios relacionados
Considerando
, encontre as soluções das seguintes inequações:
(g)
(g)
Expresse os polinômios abaixo como produtos de termos
, onde
são suas raízes:
(b)
(b)
Resolva as seguintes desigualdades
.
Resolva as seguintes desigualdades
.