Seja p uma constante positiva. Determine o(s) valor(es) de p para o(s) qual(is) a integral imprópria integral0^1 d xx^p é convergente e aquele(s) para o(s) qual(is) é divergente.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem que analisar a integral imprópria . Isso envolve cálculo de integrais onde o integrando (a função dentro da integral) pode ter comportamentos estranhos nos limites de integração, como tendendo ao infinito. O conteúdo principal aqui é o Cálculo Integral, mais especificamente integrais impróprias. Para resolver isso, a gente precisa saber como integrar funções do tipo e entender quando essa integração resulta em um valor finito (convergente) ou infinito (divergente).

Passo 2

Primeiro, vamos reescrever a função que estamos integrando para facilitar a compreensão. Temos:
1x^p = x^-p
Então, a integral fica:
integral0^1 x^-p dx

Passo 3

Agora, vamos integrar integral x^n dx = x^n+1n+1 + C . A regra de integração para potências de integral x^-p dx = x^-p + 1-p + 1 + C = x^1 - p1 - p + C é:
onde é a constante de integração, e essa regra vale para .
No nosso caso, , então a integral fica:

Passo 4

Vamos agora avaliar a integral definida de 0 a 1:
integral0^1 x^-p dx = [ x^1 - p1 - p ]0^1 = 1^1 - p1 - p - limx to 0^+ x^1 - p1 - p
Simplificando, temos:
11 - p - limx to 0^+ x^1 - p1 - p

Passo 5

Agora, vamos analisar o limite :
  • Se (ou seja, ), então tende a 0 quando tende a 0.
  • Se (ou seja, ), então temos .
  • Se (ou seja, ), então tende ao infinito quando tende a 0.

Passo 6

Vamos agora considerar os diferentes casos:
  1. Quando limx to 0^+ x^1 - p = 0 :
11 - p - 0 = 11 - p
Então, a integral fica:
integral0^1 dxx = [ ln|x| ]0^1 = ln(1) - limx to 0^+ ln(x) = 0 - (-infty) = infty
Isso é um número finito, então a integral é convergente.
  1. Quando limx to 0^+ x^1 - p = infty :
A integral se torna:
11 - p - infty = -infty
Portanto, a integral é divergente.
  1. Quando :
Então, a integral fica:
Isso significa que a integral é divergente.

Resposta

A integral imprópria é convergente quando e divergente quando .

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