Seja uma constante positiva. Determine o(s) valor(es) de para o(s) qual(is) a integral imprópria é convergente e aquele(s) para o(s) qual(is) é divergente.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem que analisar a integral imprópria . Isso envolve cálculo de integrais onde o integrando (a função dentro da integral) pode ter comportamentos estranhos nos limites de integração, como tendendo ao infinito. O conteúdo principal aqui é o Cálculo Integral, mais especificamente integrais impróprias. Para resolver isso, a gente precisa saber como integrar funções do tipo e entender quando essa integração resulta em um valor finito (convergente) ou infinito (divergente).

Passo 2

Primeiro, vamos reescrever a função que estamos integrando para facilitar a compreensão. Temos:
Então, a integral fica:

Passo 3

Agora, vamos integrar . A regra de integração para potências de é:
onde é a constante de integração, e essa regra vale para .
No nosso caso, , então a integral fica:

Passo 4

Vamos agora avaliar a integral definida de 0 a 1:
Simplificando, temos:

Passo 5

Agora, vamos analisar o limite :
  • Se (ou seja, ), então tende a 0 quando tende a 0.
  • Se (ou seja, ), então temos .
  • Se (ou seja, ), então tende ao infinito quando tende a 0.

Passo 6

Vamos agora considerar os diferentes casos:
  1. Quando :
Então, a integral fica:
Isso é um número finito, então a integral é convergente.
  1. Quando :
A integral se torna:
Portanto, a integral é divergente.
  1. Quando :
Então, a integral fica:
Isso significa que a integral é divergente.

Resposta

A integral imprópria é convergente quando e divergente quando .

Exercícios relacionados

Considerando , encontre as soluções das seguintes inequações:
(g)
Expresse os polinômios abaixo como produtos de termos , onde são suas raízes:
(b)
Resolva as seguintes desigualdades
.
Resolva as seguintes desigualdades
.