Considerando a equação (1): Encontre o valor mínimo da função
e o valor máximo da função
. Estude os sinais dessas funções.
Passo 1
Então, a gente tem duas funções quadráticas aqui:
e
. Nosso objetivo é encontrar o valor mínimo da primeira função, o valor máximo da segunda e estudar os sinais dessas funções. Vamos usar conceitos de funções quadráticas, como vértice e sinal do coeficiente principal, para resolver isso.
Passo 2
Primeiro, vamos analisar a função
. Essa é uma função quadrática padrão da forma
, onde
,
e
.
Passo 3
Para encontrar o valor mínimo dessa função, precisamos achar o vértice da parábola. O x do vértice é dado por
. Então, vamos calcular:
Passo 4
Agora que temos o valor de
, substituímos na função para encontrar o valor mínimo:
Então, o valor mínimo da função
é
.
Passo 5
Vamos agora analisar a segunda função:
. Novamente, na forma
, temos
,
e
.
Passo 6
Para encontrar o valor máximo dessa função, que é uma concavidade para baixo já que
é negativo, também encontramos o vértice. Calculamos o x do vértice:
Passo 7
Substituímos
na função para encontrar o valor máximo:
Então, o valor máximo da função
é
.
Passo 8
Agora, vamos estudar os sinais das duas funções.
Para
:
- Como o coeficiente de
é positivo ( ), a parábola abre para cima. - O valor mínimo é
, então a função será negativa quando e positiva quando . - Encontramos as raízes resolvendo a equação
:
- Portanto, a função será positiva fora do intervalo
e negativa dentro desse intervalo.
Para
:
- O coeficiente de
é negativo ( ), então a parábola abre para baixo. - O valor máximo é
, portanto a função será positiva quando e negativa quando . - Encontramos as raízes resolvendo a equação
:
- Portanto, a função será positiva entre os valores aproximados
e negativa fora desse intervalo.
Resposta
O valor mínimo da função
é
. O valor máximo da função
é
. Além disso, a primeira função é positiva para
e
, e negativa para
. A segunda função é positiva para
e negativa para
e
.
Exercícios relacionados
Sejam dadas as funções
e
. Calcule
.
Dada a função
definida pela fórmula
, determine:
Estude o sinais das funções:
Prove por indução que para cada
!.