Considerando a equação (1): Encontre o valor mínimo da função e o valor máximo da função . Estude os sinais dessas funções.

Passo 1

Então, a gente tem duas funções quadráticas aqui: e . Nosso objetivo é encontrar o valor mínimo da primeira função, o valor máximo da segunda e estudar os sinais dessas funções. Vamos usar conceitos de funções quadráticas, como vértice e sinal do coeficiente principal, para resolver isso.

Passo 2

Primeiro, vamos analisar a função . Essa é uma função quadrática padrão da forma , onde , e .

Passo 3

Para encontrar o valor mínimo dessa função, precisamos achar o vértice da parábola. O x do vértice é dado por . Então, vamos calcular:

Passo 4

Agora que temos o valor de , substituímos na função para encontrar o valor mínimo:
Então, o valor mínimo da função é .

Passo 5

Vamos agora analisar a segunda função: . Novamente, na forma , temos , e .

Passo 6

Para encontrar o valor máximo dessa função, que é uma concavidade para baixo já que é negativo, também encontramos o vértice. Calculamos o x do vértice:

Passo 7

Substituímos na função para encontrar o valor máximo:
Então, o valor máximo da função é .

Passo 8

Agora, vamos estudar os sinais das duas funções.
Para :
  • Como o coeficiente de é positivo ( ), a parábola abre para cima.
  • O valor mínimo é , então a função será negativa quando e positiva quando .
  • Encontramos as raízes resolvendo a equação :
  • Portanto, a função será positiva fora do intervalo e negativa dentro desse intervalo.
Para :
  • O coeficiente de é negativo ( ), então a parábola abre para baixo.
  • O valor máximo é , portanto a função será positiva quando e negativa quando .
  • Encontramos as raízes resolvendo a equação :
  • Portanto, a função será positiva entre os valores aproximados e negativa fora desse intervalo.

Resposta

O valor mínimo da função é . O valor máximo da função é . Além disso, a primeira função é positiva para e , e negativa para . A segunda função é positiva para e negativa para e .

Exercícios relacionados

Sejam dadas as funções e . Calcule .
Dada a função definida pela fórmula , determine:
Estude o sinais das funções:
Prove por indução que para cada !.