Estude o sinais das funções:
Passo 1
Beleza, vamos lá! A questão pede para a gente estudar os sinais da função
. Isso significa que vamos descobrir para quais valores de
a função é positiva, negativa ou zero. Para resolver isso, vamos precisar entender sobre funções racionais, valores absolutos e análise de sinais.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar onde a função pode mudar de sinal. Isso acontece nos pontos onde o numerador ou o denominador se igualam a zero. Então, vamos encontrar os zeros do numerador e do denominador.
Passo 3
Numerador:
Resolvendo:
Então, os zeros do numerador são
e
.
Denominador:
Resolvendo:
O denominador é zero em
. Mas como estamos dividindo por
, o denominador sempre será positivo, exceto em
, onde a função não está definida.
Passo 4
Agora, vamos dividir a linha dos números em intervalos usando esses pontos críticos:
,
e
. Assim, teremos quatro intervalos para analisar:
Passo 5
Vamos escolher um valor de
em cada intervalo e determinar o sinal do numerador e do denominador, e assim, o sinal da função inteira.
Intervalo 1:
(por exemplo,
)
- Numerador:
(positivo) - Denominador:
(positivo) - Função:
Intervalo 2:
(por exemplo,
)
- Numerador:
(negativo) - Denominador:
(positivo) - Função:
Intervalo 3:
(por exemplo,
)
- Numerador:
(negativo) - Denominador:
(positivo) - Função:
Intervalo 4:
(por exemplo,
)
- Numerador:
(positivo) - Denominador:
(positivo) - Função:
Passo 6
Além disso, vamos verificar os pontos onde a função pode ser zero ou não estar definida:
- Em
: Numerador é zero, denominador é (positivo), então . - Em
: Denominador é zero, então a função não está definida nesse ponto. - Em
: Numerador é zero, denominador é (positivo), então .
Resposta
A função
é positiva para
e
, negativa para
(exceto
, onde a função não está definida), e é igual a zero em
e
.
Exercícios relacionados
Considerando a equação (1): Encontre o valor mínimo da função
e o valor máximo da função
. Estude os sinais dessas funções.
Sejam dadas as funções
e
. Calcule
.
Prove por indução que para cada
!.
Deduza a equação geral da reta no plano cartesiano, isto é, mostre que uma reta qualquer no plano pode ser parametrizada por uma equação da forma
, onde
são reais quaisquer com
.