Estude o sinais das funções:

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão pede para a gente estudar os sinais da função . Isso significa que vamos descobrir para quais valores de a função é positiva, negativa ou zero. Para resolver isso, vamos precisar entender sobre funções racionais, valores absolutos e análise de sinais.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar onde a função pode mudar de sinal. Isso acontece nos pontos onde o numerador ou o denominador se igualam a zero. Então, vamos encontrar os zeros do numerador e do denominador.

Passo 3

Numerador:
Resolvendo:
Então, os zeros do numerador são e .
Denominador:
Resolvendo:
O denominador é zero em . Mas como estamos dividindo por , o denominador sempre será positivo, exceto em , onde a função não está definida.

Passo 4

Agora, vamos dividir a linha dos números em intervalos usando esses pontos críticos: , e . Assim, teremos quatro intervalos para analisar:

Passo 5

Vamos escolher um valor de em cada intervalo e determinar o sinal do numerador e do denominador, e assim, o sinal da função inteira.
Intervalo 1: (por exemplo, )
  • Numerador: (positivo)
  • Denominador: (positivo)
  • Função:
Intervalo 2: (por exemplo, )
  • Numerador: (negativo)
  • Denominador: (positivo)
  • Função:
Intervalo 3: (por exemplo, )
  • Numerador: (negativo)
  • Denominador: (positivo)
  • Função:
Intervalo 4: (por exemplo, )
  • Numerador: (positivo)
  • Denominador: (positivo)
  • Função:

Passo 6

Além disso, vamos verificar os pontos onde a função pode ser zero ou não estar definida:
  • Em : Numerador é zero, denominador é (positivo), então .
  • Em : Denominador é zero, então a função não está definida nesse ponto.
  • Em : Numerador é zero, denominador é (positivo), então .

Resposta

A função é positiva para e , negativa para (exceto , onde a função não está definida), e é igual a zero em e .

Exercícios relacionados

Considerando a equação (1): Encontre o valor mínimo da função e o valor máximo da função . Estude os sinais dessas funções.
Sejam dadas as funções e . Calcule .
Prove por indução que para cada !.
Deduza a equação geral da reta no plano cartesiano, isto é, mostre que uma reta qualquer no plano pode ser parametrizada por uma equação da forma , onde são reais quaisquer com .