Prove por indução que para cada n >= 4, 2^n <= n !.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede pra gente provar, usando indução matemática, que para todo número natural , a desigualdade é verdadeira. Isso está relacionado ao conteúdo de Indução Matemática e Desigualdades envolvendo fatorial e exponenciais. Para resolver isso, vamos precisar entender como funciona a indução matemática e saber calcular fatoriais e potências de 2.

Passo 2

Primeiro, vamos verificar se a desigualdade é verdadeira para o caso inicial, que é quando . Calculando:
Como , a desigualdade é válida para . Esse passo é essencial na indução matemática, pois estabelece a base para provar que a afirmação é verdadeira para todos os maiores ou iguais a 4.

Passo 3

Agora, vamos assumir que a desigualdade é verdadeira para algum número . Ou seja, vamos supor que:
Esse passo é chamado de hipótese de indução. A ideia é usar essa suposição para provar que a desigualdade também vale para .

Passo 4

Vamos provar que usando a hipótese de indução.
Primeiro, observe que:
Pela hipótese de indução, sabemos que . Substituindo na expressão acima:
Agora, vamos ver o que é :
Queremos mostrar que . Dividindo ambos os lados por (que é positivo), temos:
Simplificando:
Como , então , o que definitivamente é maior que 2. Portanto, a desigualdade é verdadeira.

Resposta

Assim, por indução matemática, provamos que para todo , a desigualdade é válida.

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