Prove por indução que para cada
!.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede pra gente provar, usando indução matemática, que para todo número natural
, a desigualdade
é verdadeira. Isso está relacionado ao conteúdo de Indução Matemática e Desigualdades envolvendo fatorial e exponenciais. Para resolver isso, vamos precisar entender como funciona a indução matemática e saber calcular fatoriais e potências de 2.
Passo 2
Primeiro, vamos verificar se a desigualdade é verdadeira para o caso inicial, que é quando
. Calculando:
Como
, a desigualdade é válida para
. Esse passo é essencial na indução matemática, pois estabelece a base para provar que a afirmação é verdadeira para todos os
maiores ou iguais a 4.
Passo 3
Agora, vamos assumir que a desigualdade é verdadeira para algum número
. Ou seja, vamos supor que:
Esse passo é chamado de hipótese de indução. A ideia é usar essa suposição para provar que a desigualdade também vale para
.
Passo 4
Vamos provar que
usando a hipótese de indução.
Primeiro, observe que:
Pela hipótese de indução, sabemos que
. Substituindo na expressão acima:
Agora, vamos ver o que é
:
Queremos mostrar que
. Dividindo ambos os lados por
(que é positivo), temos:
Simplificando:
Como
, então
, o que definitivamente é maior que 2. Portanto, a desigualdade
é verdadeira.
Resposta
Assim, por indução matemática, provamos que para todo
, a desigualdade
é válida.
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e o valor máximo da função
. Estude os sinais dessas funções.
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, onde
são reais quaisquer com
.
Considere o trinômio
, onde
são reais quaisquer e
. Mostre que
Para
mostre que
atinge um mínimo e diga qual é o ponto de mínimo.