Considerando que as equações nos exercícios abaixo definem como uma função diferenciável de , use o Teorema 1 para encontrar o valor de no ponto dado.
no ponto .

Passo 1

Vamos entender o que a questão está pedindo. Temos uma equação que relaciona e : . Sabemos que é uma função diferenciável de . O objetivo é encontrar a derivada no ponto usando o Teorema 1, que se refere à diferenciação implícita.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar o que é derivada. A derivada de uma função nos dá a taxa de variação de em relação a . Como depende de , precisamos usar a diferenciação implícita para encontrar .

Passo 3

Aplicando a diferenciação em ambos os lados da equação em relação a :

Passo 4

Calculando cada termo:
  • (usando a regra da cadeia)
  • (usando a regra do produto)

Passo 5

Substituindo esses resultados na equação diferenciada:

Passo 6

Vamos agrupar os termos que contêm :

Passo 7

Isolando :

Passo 8

Agora, substituímos os valores do ponto :

Resposta

O valor de no ponto é .

Exercícios relacionados

Determine a solução geral das EDOf)
Suponha que sejam soluções não-triviais de uma equação diferencial linear homogênea de ordem com coeficientes constantes e que . O conjunto de soluções é linearmente dependente ou linearmente independente em ? Justifique.
Resolver as seguintes equações diferenciais:
a) .
Resolver os seguintes problemas de valor inicial:
c) .