Considerando que as equações nos exercícios abaixo definem
como uma função diferenciável de
, use o Teorema 1 para encontrar o valor de
no ponto dado.
no ponto
.
Passo 1
Vamos entender o que a questão está pedindo. Temos uma equação que relaciona
e
:
. Sabemos que
é uma função diferenciável de
. O objetivo é encontrar a derivada
no ponto
usando o Teorema 1, que se refere à diferenciação implícita.
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar o que é derivada. A derivada de uma função nos dá a taxa de variação de
em relação a
. Como
depende de
, precisamos usar a diferenciação implícita para encontrar
.
Passo 3
Aplicando a diferenciação em ambos os lados da equação
em relação a
:
Passo 4
Calculando cada termo:
-
-
(usando a regra da cadeia) -
(usando a regra do produto) -
Passo 5
Substituindo esses resultados na equação diferenciada:
Passo 6
Vamos agrupar os termos que contêm
:
Passo 7
Isolando
:
Passo 8
Agora, substituímos os valores do ponto
:
Resposta
O valor de
no ponto
é
.
Exercícios relacionados
Determine a solução geral das EDOf)
Suponha que
sejam
soluções não-triviais de uma equação diferencial linear homogênea de ordem
com coeficientes constantes e que
. O conjunto de soluções
é linearmente dependente ou linearmente independente em
? Justifique.
Resolver as seguintes equações diferenciais:
a) .
a)
Resolver os seguintes problemas de valor inicial:
c) .
c)