Considerando que as equações nos exercícios abaixo definem y como uma função diferenciável de x, use o Teorema 1 para encontrar o valor de d y / d x no ponto dado.
x^3 - y^2 + x*y = 0 no ponto 1,1.

Passo 1

Vamos entender o que a questão está pedindo. Temos uma equação que relaciona x e y: . Sabemos que y é uma função diferenciável de x. O objetivo é encontrar a derivada no ponto 1,1 usando o Teorema 1, que se refere à diferenciação implícita.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar o que é derivada. A derivada de uma função nos dá a taxa de variação de y em relação a x. Como y depende de x, precisamos usar a diferenciação implícita para encontrar .

Passo 3

Aplicando a diferenciação em ambos os lados da equação em relação a x:

Passo 4

Calculando cada termo:
  • (usando a regra da cadeia)
  • (usando a regra do produto)

Passo 5

Substituindo esses resultados na equação diferenciada:

Passo 6

Vamos agrupar os termos que contêm :

Passo 7

Isolando :

Passo 8

Agora, substituímos os valores do ponto 1,1:

Resposta

O valor de no ponto 1,1 é .

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