Suponha que sejam soluções não-triviais de uma equação diferencial linear homogênea de ordem com coeficientes constantes e que . O conjunto de soluções é linearmente dependente ou linearmente independente em ? Justifique.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado fala sobre equações diferenciais lineares homogêneas de ordem com coeficientes constantes. A gente tem soluções não-triviais dessa equação, ou seja, . A questão é saber se esse conjunto de soluções é linearmente dependente ou independente no intervalo . Para resolver isso, vamos precisar entender sobre espaço de soluções e a relação entre o número de soluções e a ordem da equação.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que uma equação diferencial linear homogênea de ordem tem um espaço de soluções que é um espaço vetorial de dimensão . Isso significa que qualquer conjunto de soluções linearmente independentes forma uma base para esse espaço. Ou seja, qualquer solução pode ser expressa como uma combinação linear dessas soluções básicas.

Passo 3

Agora, se a gente tem soluções, estamos falando de mais soluções do que a dimensão do espaço de soluções. Em termos de álgebra linear, se temos mais vetores (nesse caso, soluções) do que a dimensão do espaço, essas soluções necessariamente são linearmente dependentes. Isso porque não dá para todos serem independentes; pelo menos uma delas pode ser escrita como uma combinação das outras.

Passo 4

Vamos formalizar isso. Suponha que temos soluções . Pelo teorema da dimensão, qualquer conjunto de mais de vetores em um espaço de dimensão é linearmente dependente. Portanto, existe uma combinação linear não trivial dessas soluções que resulta na solução zero:
onde nem todos os coeficientes são zero.

Passo 5

Assim, concluímos que com soluções em um espaço de soluções de dimensão , necessariamente essas soluções são linearmente dependentes no intervalo considerado, que no caso é .

Resposta

O conjunto de soluções é linearmente dependente em , pois temos mais soluções ( ) do que a dimensão do espaço de soluções ( ), o que garante dependência linear.

Exercícios relacionados

Verifique para quais condições de contorno dadas a EDO possui alguma solução:
a) ;
Nos exercícios, (a) expresse e como funções de e usando a regra da cadeia e também expressando diretamente em termos de e antes de diferenciar. Depois (b) calcule e no ponto dado .
no ponto .
Determine a solução geral das EDOf)
Considerando que as equações nos exercícios abaixo definem como uma função diferenciável de , use o Teorema 1 para encontrar o valor de no ponto dado.
no ponto .