Suponha que
sejam
soluções não-triviais de uma equação diferencial linear homogênea de ordem
com coeficientes constantes e que
. O conjunto de soluções
é linearmente dependente ou linearmente independente em
? Justifique.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado fala sobre equações diferenciais lineares homogêneas de ordem
com coeficientes constantes. A gente tem
soluções não-triviais dessa equação, ou seja,
. A questão é saber se esse conjunto de soluções é linearmente dependente ou independente no intervalo
. Para resolver isso, vamos precisar entender sobre espaço de soluções e a relação entre o número de soluções e a ordem da equação.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que uma equação diferencial linear homogênea de ordem
tem um espaço de soluções que é um espaço vetorial de dimensão
. Isso significa que qualquer conjunto de
soluções linearmente independentes forma uma base para esse espaço. Ou seja, qualquer solução pode ser expressa como uma combinação linear dessas
soluções básicas.
Passo 3
Agora, se a gente tem
soluções, estamos falando de mais soluções do que a dimensão do espaço de soluções. Em termos de álgebra linear, se temos mais vetores (nesse caso, soluções) do que a dimensão do espaço, essas soluções necessariamente são linearmente dependentes. Isso porque não dá para todos serem independentes; pelo menos uma delas pode ser escrita como uma combinação das outras.
Passo 4
Vamos formalizar isso. Suponha que temos
soluções
. Pelo teorema da dimensão, qualquer conjunto de mais de
vetores em um espaço de dimensão
é linearmente dependente. Portanto, existe uma combinação linear não trivial dessas soluções que resulta na solução zero:
onde nem todos os coeficientes
são zero.
Passo 5
Assim, concluímos que com
soluções em um espaço de soluções de dimensão
, necessariamente essas soluções são linearmente dependentes no intervalo considerado, que no caso é
.
Resposta
O conjunto de soluções
é linearmente dependente em
, pois temos mais soluções (
) do que a dimensão do espaço de soluções (
), o que garante dependência linear.
Exercícios relacionados
Verifique para quais condições de contorno dadas a EDO
possui alguma solução:
a) ;
a)
Nos exercícios, (a) expresse
e
como funções de
e
usando a regra da cadeia e também expressando
diretamente em termos de
e
antes de diferenciar. Depois (b) calcule
e
no ponto dado
.
no ponto
.
Determine a solução geral das EDOf)
Considerando que as equações nos exercícios abaixo definem
como uma função diferenciável de
, use o Teorema 1 para encontrar o valor de
no ponto dado.
no ponto
.