Resolver os seguintes problemas de valor inicial:
c) .

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa equação diferencial de segunda ordem que você me passou:
Isso faz parte do estudo de Equações Diferenciais Ordinárias (EDOs), especificamente aquelas de segunda ordem com coeficientes constantes. Para resolver, vamos precisar encontrar a solução geral da EDO e depois aplicar as condições iniciais que você forneceu: e .

Passo 2

Primeiro, vamos transformar a equação diferencial em uma equação algébrica chamada equação característica. Para isso, assumimos que a solução tem a forma , onde é uma constante que precisamos determinar. Substituindo e suas derivadas na EDO:
Substituindo na equação original:
Como nunca é zero, podemos dividir toda a equação por :
Essa é a nossa equação característica.

Passo 3

Agora, vamos resolver a equação característica para encontrar os valores de :
Podemos usar a fórmula de Bhaskara para resolver essa equação quadrática:
Onde , e :
Então:
Isso nos dá duas raízes reais distintas:

Passo 4

Com as raízes e , a solução geral da EDO é uma combinação linear das soluções correspondentes a cada raiz:
Aqui, e são constantes que vamos determinar usando as condições iniciais.

Passo 5

Agora, vamos aplicar as condições iniciais para encontrar os valores de e .
Primeiro, aplicamos :
Agora, encontramos a derivada de :
Aplicamos a segunda condição :
Agora, temos um sistema de duas equações:
Vamos resolver esse sistema. Da equação (1), podemos expressar e substituir na equação (2):
Substituindo na equação (1):

Resposta

A solução da equação diferencial com as condições iniciais dadas é:

Exercícios relacionados

Resolver as seguintes equações diferenciais:
a) .
Considerando que as equações nos exercícios abaixo definem como uma função diferenciável de , use o Teorema 1 para encontrar o valor de no ponto dado.
no ponto .
Sejam e constantes reais. Determine a EDO linear homogênea, com coeficientes constantes e de ordem três, cuja solução geral é
Resolva os seguintes problemas.
c) Um circuito em série consiste em um resistor com resistência , um indutor com indutância , um capacitor com capacitância e uma bateria de volts. Se a carga inicial e a corrente forem iguais a 0 , encontre a carga e a corrente no instante quando volts. O que acontece quando ? Explique.