Resolver os seguintes problemas de valor inicial:
c)
.
c)
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa equação diferencial de segunda ordem que você me passou:
Isso faz parte do estudo de Equações Diferenciais Ordinárias (EDOs), especificamente aquelas de segunda ordem com coeficientes constantes. Para resolver, vamos precisar encontrar a solução geral da EDO e depois aplicar as condições iniciais que você forneceu:
e
.
Passo 2
Primeiro, vamos transformar a equação diferencial em uma equação algébrica chamada equação característica. Para isso, assumimos que a solução tem a forma
, onde
é uma constante que precisamos determinar. Substituindo
e suas derivadas na EDO:
Substituindo na equação original:
Como
nunca é zero, podemos dividir toda a equação por
:
Essa é a nossa equação característica.
Passo 3
Agora, vamos resolver a equação característica para encontrar os valores de
:
Podemos usar a fórmula de Bhaskara para resolver essa equação quadrática:
Onde
,
e
:
Então:
Isso nos dá duas raízes reais distintas:
Passo 4
Com as raízes
e
, a solução geral da EDO é uma combinação linear das soluções correspondentes a cada raiz:
Aqui,
e
são constantes que vamos determinar usando as condições iniciais.
Passo 5
Agora, vamos aplicar as condições iniciais para encontrar os valores de
e
.
Primeiro, aplicamos
:
Agora, encontramos a derivada de
:
Aplicamos a segunda condição
:
Agora, temos um sistema de duas equações:
Vamos resolver esse sistema. Da equação (1), podemos expressar
e substituir na equação (2):
Substituindo
na equação (1):
Resposta
A solução da equação diferencial com as condições iniciais dadas é: