Determine a solução geral das EDOf)

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para encontrar a solução geral da equação diferencial ordinária (EDO):
Isso envolve conhecimentos de equações diferenciais lineares. Para resolver, vamos precisar identificar o tipo da equação e aplicar métodos apropriados, como encontrar um fator integrante.

Passo 2

Primeiro, vamos reorganizar a equação para deixá-la na forma padrão de uma equação diferencial linear de primeira ordem:
Dividindo tudo por , temos:
Aqui, e .

Passo 3

Agora, vamos encontrar o fator integrante, que é essencial para resolver essa equação. O fator integrante é dado por:
Substituindo :

Passo 4

Multiplicamos toda a equação pela :
Simplificando:
Interessante, volta à forma original, mas agora sabemos que o lado esquerdo é a derivada do produto :

Passo 5

Agora, integramos ambos os lados em relação a :
O lado esquerdo simplifica para:

Passo 6

Vamos resolver a integral do lado direito. Usamos a técnica de integração por partes, onde:
Seja então
e então
Aplicando a integração por partes:

Passo 7

Voltando à equação:
Agora, isolamos :

Resposta

A solução geral da equação diferencial é:
Onde é uma constante arbitrária.

Exercícios relacionados

Suponha que sejam soluções não-triviais de uma equação diferencial linear homogênea de ordem com coeficientes constantes e que . O conjunto de soluções é linearmente dependente ou linearmente independente em ? Justifique.
Verifique para quais condições de contorno dadas a EDO possui alguma solução:
a) ;
Considerando que as equações nos exercícios abaixo definem como uma função diferenciável de , use o Teorema 1 para encontrar o valor de no ponto dado.
no ponto .
Resolver as seguintes equações diferenciais:
a) .