Determine a solução geral das EDOf)
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para encontrar a solução geral da equação diferencial ordinária (EDO):
Isso envolve conhecimentos de equações diferenciais lineares. Para resolver, vamos precisar identificar o tipo da equação e aplicar métodos apropriados, como encontrar um fator integrante.
Passo 2
Primeiro, vamos reorganizar a equação para deixá-la na forma padrão de uma equação diferencial linear de primeira ordem:
Dividindo tudo por
, temos:
Aqui,
e
.
Passo 3
Agora, vamos encontrar o fator integrante, que é essencial para resolver essa equação. O fator integrante
é dado por:
Substituindo
:
Passo 4
Multiplicamos toda a equação pela
:
Simplificando:
Interessante, volta à forma original, mas agora sabemos que o lado esquerdo é a derivada do produto
:
Passo 5
Agora, integramos ambos os lados em relação a
:
O lado esquerdo simplifica para:
Passo 6
Vamos resolver a integral do lado direito. Usamos a técnica de integração por partes, onde:
Seja
então
e
então
Aplicando a integração por partes:
Passo 7
Voltando à equação:
Agora, isolamos
:
Resposta
A solução geral da equação diferencial é:
Onde
é uma constante arbitrária.
Exercícios relacionados
Suponha que
sejam
soluções não-triviais de uma equação diferencial linear homogênea de ordem
com coeficientes constantes e que
. O conjunto de soluções
é linearmente dependente ou linearmente independente em
? Justifique.
Verifique para quais condições de contorno dadas a EDO
possui alguma solução:
a) ;
a)
Considerando que as equações nos exercícios abaixo definem
como uma função diferenciável de
, use o Teorema 1 para encontrar o valor de
no ponto dado.
no ponto
.
Resolver as seguintes equações diferenciais:
a) .
a)