Considerando o um escoamento com um campo de velocidades dado por:
V=x(1+t / 2) imath+y jmath+0 widehatk
a) Trace a trajetória da partícula que passou pelo ponto (1,1) no instante t=0 s.

Passo 1

Beleza, vamos começar resumindo o que a questão está pedindo. A gente tem um campo de velocidades dado por:
V=x(1+t2) imath + y jmath + 0 widehatk
A pergunta é para traçar a trajetória de uma partícula que passou pelo ponto (1,1) no instante segundos. Vamos precisar usar conceitos de cinemática de fluidos, especificamente as equações que relacionam a velocidade com a posição da partícula ao longo do tempo.

Passo 2

Primeiro, vamos entender que a trajetória de uma partícula em um campo de velocidades é obtida resolvendo as equações diferenciais que relacionam a velocidade às coordenadas espaciais. Ou seja, queremos encontrar funções e que nos dão a posição da partícula em qualquer instante .

Passo 3

Vamos separar as componentes da velocidade:
Para a componente dxdt = x(1 + t2) :
dydt = y
Para a componente dzdt = 0 :
E para a componente :
Como a velocidade em é zero, isso significa que a partícula não se move nessa direção, então permanece constante. Como não foi dado um valor inicial para , podemos assumir que .

Passo 4

Vamos resolver a equação para dydt = y primeiro, pois ela é mais simples:
y(t) = y0 e^t
Esta é uma equação diferencial de primeira ordem que tem como solução:
y(t) = e^t
Onde é a condição inicial. Sabemos que , então:

Passo 5

Agora, vamos resolver a equação para dxdt = x(1 + t2) :
dxx = (1 + t2) dt
Podemos reescrever essa equação como:
integral 1x dx = integral (1 + t2) dt
Integrando ambos os lados:
ln|x| = t + t^24 + C
Isso resulta em:
x = e^t + t^24 + C = e^C cdot e^t + t^24
Onde x(t) = x0 e^t + t^24 é a constante de integração. Elevando ambos os lados para eliminar o logaritmo:
1 = x0 e^0 + 0 Rightarrow x0 = 1
Denotando x(t) = e^t + t^24 como , temos:
Sabendo que :
Portanto:

Resposta

A trajetória da partícula é dada por:
x(t) = e^, t + t^24 y(t) = e^, t z(t) = 0

Exercícios relacionados

Para o escoamento de Poiseuille, cujo campo de velocidades é dado por, V=(2 U(y^2-h^2)) imath+0 jmath (Considerando o eixo times posicionado na linha central do canal), onde U é a velocidade média do fluido, que é um dado do problema.
b) Determine o vetor aceleração. Comente o resultado.
Em uma determinada região de um escoamento, a temperatura varia de acordo com: T(x, y)=x^2+2 y
c) Considere agora que a temperatura varia também no tempo de acordo com: T(x, y)=x^2+2 y+2 t. Calcule a variação transiente de temperatura para uma partícula nos mesmos pontos do item anterior e para uma partícula estagnada (com velocidade nula) nesses pontos.
Para os seguintes campos de velocidade calcule o divergente dos campos e a vorticidade. Indique em cada caso se o escoamento é compressível ou incompressível, rotacional ou irrotacional, transiente ou permanente
b) V=2 x y^2 imath+2 y x^2 jmath+0 widehatk
Para o escoamento de Poiseuille, cujo campo de velocidades é dado por, V=(2 U(y^2-h^2)) imath+0 jmath (Considerando o eixo times posicionado na linha central do canal), onde U é a velocidade média do fluido, que é um dado do problema.
a) Determine o vetor vorticidade, o vetor rotação e o tensor deformação (no plano xy)