Considerando o um escoamento com um campo de velocidades dado por:
a) Trace a trajetória da partícula que passou pelo ponto (1,1) no instante
.
Passo 1
Beleza, vamos começar resumindo o que a questão está pedindo. A gente tem um campo de velocidades dado por:
A pergunta é para traçar a trajetória de uma partícula que passou pelo ponto (1,1) no instante
segundos. Vamos precisar usar conceitos de cinemática de fluidos, especificamente as equações que relacionam a velocidade com a posição da partícula ao longo do tempo.
Passo 2
Primeiro, vamos entender que a trajetória de uma partícula em um campo de velocidades é obtida resolvendo as equações diferenciais que relacionam a velocidade às coordenadas espaciais. Ou seja, queremos encontrar funções
e
que nos dão a posição da partícula em qualquer instante
.
Passo 3
Vamos separar as componentes da velocidade:
Para a componente
:
Para a componente
:
E para a componente
:
Como a velocidade em
é zero, isso significa que a partícula não se move nessa direção, então
permanece constante. Como não foi dado um valor inicial para
, podemos assumir que
.
Passo 4
Vamos resolver a equação para
primeiro, pois ela é mais simples:
Esta é uma equação diferencial de primeira ordem que tem como solução:
Onde
é a condição inicial. Sabemos que
, então:
Passo 5
Agora, vamos resolver a equação para
:
Podemos reescrever essa equação como:
Integrando ambos os lados:
Isso resulta em:
Onde
é a constante de integração. Elevando ambos os lados para eliminar o logaritmo:
Denotando
como
, temos:
Sabendo que
:
Portanto:
Resposta
A trajetória da partícula é dada por: