Considerando o um escoamento com um campo de velocidades dado por:
a) Trace a trajetória da partícula que passou pelo ponto (1,1) no instante .
Passo 1
Beleza, vamos começar resumindo o que a questão está pedindo. A gente tem um campo de velocidades dado por:
A pergunta é para traçar a trajetória de uma partícula que passou pelo ponto (1,1) no instante segundos. Vamos precisar usar conceitos de cinemática de fluidos, especificamente as equações que relacionam a velocidade com a posição da partícula ao longo do tempo.
Passo 2
Primeiro, vamos entender que a trajetória de uma partícula em um campo de velocidades é obtida resolvendo as equações diferenciais que relacionam a velocidade às coordenadas espaciais. Ou seja, queremos encontrar funções e que nos dão a posição da partícula em qualquer instante .
Passo 3
Vamos separar as componentes da velocidade:
Para a componente :
Para a componente :
E para a componente :
Como a velocidade em é zero, isso significa que a partícula não se move nessa direção, então permanece constante. Como não foi dado um valor inicial para , podemos assumir que .
Passo 4
Vamos resolver a equação para primeiro, pois ela é mais simples:
Esta é uma equação diferencial de primeira ordem que tem como solução:
Onde é a condição inicial. Sabemos que , então:
Passo 5
Agora, vamos resolver a equação para :
Podemos reescrever essa equação como:
Integrando ambos os lados:
Isso resulta em:
Onde é a constante de integração. Elevando ambos os lados para eliminar o logaritmo: