Para o escoamento de Poiseuille, cujo campo de velocidades é dado por,
(Considerando o eixo
posicionado na linha central do canal), onde
é a velocidade média do fluido, que é um dado do problema.
b) Determine o vetor aceleração. Comente o resultado.
b) Determine o vetor aceleração. Comente o resultado.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem um exercício sobre o escoamento de Poiseuille, que descreve o movimento de um fluido entre duas placas paralelas. O campo de velocidades dado é:
Aqui,
é a velocidade média do fluido,
é a coordenada vertical, e
é a distância do eixo central até as placas. Nosso objetivo é determinar o vetor aceleração desse escoamento e comentar o que isso significa.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que é o vetor aceleração em um campo de velocidades. A aceleração
em um fluido é dada pela derivada material da velocidade:
No nosso caso, o escoamento é estacionário, ou seja, não depende do tempo. Então, a primeira parte da derivada material desaparece:
Portanto, a aceleração fica:
Passo 3
Agora, vamos calcular
. Primeiro, precisamos encontrar as derivadas parciais dos componentes de
:
Calculando as derivadas:
Passo 4
Agora, aplicamos essas derivadas na expressão do termo convectivo
:
Substituindo os valores:
Como
, a segunda parte desaparece:
Resposta
O vetor aceleração é nulo:
Comentário: Isso significa que, no escoamento de Poiseuille considerado, não há aceleração das partículas do fluido. O fluxo é estacionário e totalmente desenvolvido, então as partículas mantêm sua velocidade constante, confirmando que a aceleração é zero.