Para o escoamento de Poiseuille, cujo campo de velocidades é dado por, V=(2 U(y^2-h^2)) imath+0 jmath (Considerando o eixo times posicionado na linha central do canal), onde U é a velocidade média do fluido, que é um dado do problema.
b) Determine o vetor aceleração. Comente o resultado.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem um exercício sobre o escoamento de Poiseuille, que descreve o movimento de um fluido entre duas placas paralelas. O campo de velocidades dado é:
V = (2 U (y^2 - h^2)) imath + 0 jmath
Aqui, é a velocidade média do fluido, é a coordenada vertical, e é a distância do eixo central até as placas. Nosso objetivo é determinar o vetor aceleração desse escoamento e comentar o que isso significa.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é o vetor aceleração em um campo de velocidades. A aceleração a = DVDt = partial Vpartial t + (V cdot nabla)V em um fluido é dada pela derivada material da velocidade:
partial Vpartial t = 0
No nosso caso, o escoamento é estacionário, ou seja, não depende do tempo. Então, a primeira parte da derivada material desaparece:
a = (V cdot nabla)V
Portanto, a aceleração fica:

Passo 3

Agora, vamos calcular Vx = 2U(y^2 - h^2) . Primeiro, precisamos encontrar as derivadas parciais dos componentes de Vy = 0 :
partial Vxpartial x = 0 (já que ( Vx ) não depende de ( x ))
partial Vxpartial y = 4Uy
Calculando as derivadas:
partial Vypartial x = 0 áã
partial Vypartial y = 0

Passo 4

Agora, aplicamos essas derivadas na expressão do termo convectivo (V cdot nabla)V = Vx partial Vpartial x + Vy partial Vpartial y :
(V cdot nabla)V = Vx cdot [ partial Vxpartial x imath + partial Vypartial x jmath ] + Vy cdot [ partial Vxpartial y imath + partial Vypartial y jmath ]
Substituindo os valores:
(V cdot nabla)V = Vx cdot [ 0 imath + 0 jmath ] = 0
Como , a segunda parte desaparece:

Resposta

O vetor aceleração é nulo:
a = 0
Comentário: Isso significa que, no escoamento de Poiseuille considerado, não há aceleração das partículas do fluido. O fluxo é estacionário e totalmente desenvolvido, então as partículas mantêm sua velocidade constante, confirmando que a aceleração é zero.

Exercícios relacionados

Em uma determinada região de um escoamento, a temperatura varia de acordo com: T(x, y)=x^2+2 y
c) Considere agora que a temperatura varia também no tempo de acordo com: T(x, y)=x^2+2 y+2 t. Calcule a variação transiente de temperatura para uma partícula nos mesmos pontos do item anterior e para uma partícula estagnada (com velocidade nula) nesses pontos.
Pequenas partículas (traçadores) são utilizadas para visualização do escoamento. As mesmas são injetadas na origem (x=0, y=0). Para o campo de velocidades dado por,
& u=-1 m / s, v=1 m / s para 0 <= t <= 2 & u=0 m / s, v=2 m / s para 2 <= t <= 4
a) Trace as trajetórias dos traçadores que passam pela origem nos tempos t=0,1,2,3,4 s.
Considerando o um escoamento com um campo de velocidades dado por:
V=x(1+t / 2) imath+y jmath+0 widehatk
a) Trace a trajetória da partícula que passou pelo ponto (1,1) no instante t=0 s.
Para os seguintes campos de velocidade calcule o divergente dos campos e a vorticidade. Indique em cada caso se o escoamento é compressível ou incompressível, rotacional ou irrotacional, transiente ou permanente
b) V=2 x y^2 imath+2 y x^2 jmath+0 widehatk