Para o escoamento de Poiseuille, cujo campo de velocidades é dado por, V=(2 U(y^2-h^2)) imath+0 jmath (Considerando o eixo times posicionado na linha central do canal), onde U é a velocidade média do fluido, que é um dado do problema.
a) Determine o vetor vorticidade, o vetor rotação e o tensor deformação (no plano xy)

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para a gente determinar três coisas para o escoamento de Poiseuille com o campo de velocidades dado por . Estamos trabalhando com dinâmica de fluidos, especificamente analisando o escoamento em um canal. Para resolver isso, vamos precisar entender como calcular a vorticidade, a rotação e o tensor de deformação a partir do campo de velocidades fornecido.

Passo 2

Primeiro, vamos determinar o vetor vorticidade. A vorticidade omega = nabla times V é dada pelo rotacional do campo de velocidade, ou seja:
omega = ( partial Vypartial x - partial Vxpartial y ) k
Em coordenadas cartesianas, o rotacional é calculado assim:
partial Vypartial x = partial 0partial x = 0
No nosso caso, partial Vxpartial y = partialpartial y [2U(y^2 - h^2)] = 4Uy e omega = (0 - 4Uy) k = -4Uy k . Vamos calcular as derivadas parciais necessárias:
Substituindo na expressão da vorticidade:

Passo 3

Agora, vamos encontrar o vetor rotação. O tensor de rotação Omega = 12 ( nabla V - (nabla V)^T ) é a parte antissimétrica do gradiente de velocidades. Ele é definido por:
nabla V = partial Vxpartial x & partial Vxpartial y partial Vypartial x & partial Vypartial y = 0 & 4Uy 0 & 0
Primeiro, calculamos o gradiente de nabla V - (nabla V)^T = 0 & 4Uy 0 & 0 - 0 & 0 4Uy & 0 = 0 & 4Uy -4Uy & 0 :

[
\nabla \vec{V} =
Omega = 12 0 & 4Uy -4Uy & 0 = 0 & 2Uy -2Uy & 0


]
Agora, calculamos :

[
\nabla \vec{V} - (\nabla \vec{V})^T =


]
Então, o tensor de rotação é:

[
\Omega = \frac{1}{2}


]

Passo 4

Por fim, vamos calcular o tensor de deformação D = 12 ( nabla V + (nabla V)^T ) . Esse tensor é a parte simétrica do gradiente de velocidades e é dado por:
nabla V + (nabla V)^T = 0 & 4Uy 0 & 0 + 0 & 0 4Uy & 0 = 0 & 4Uy 4Uy & 0
Usando o gradiente de velocidades que já calculamos:

[
\nabla \vec{V} + (\nabla \vec{V})^T =
D = 12 0 & 4Uy 4Uy & 0 = 0 & 2Uy 2Uy & 0
+


]
Assim, o tensor de deformação é:

[
\mathbf{D} = \frac{1}{2}


]

Resposta

A vorticidade é Omega = 0 & 2Uy -2Uy & 0 , o tensor de rotação é
D = 0 & 2Uy 2Uy & 0
e o tensor de deformação no plano xy é

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Para os seguintes campos de velocidade calcule o divergente dos campos e a vorticidade. Indique em cada caso se o escoamento é compressível ou incompressível, rotacional ou irrotacional, transiente ou permanente
b) V=2 x y^2 imath+2 y x^2 jmath+0 widehatk
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Para os seguintes campos de velocidade calcule o divergente dos campos e a vorticidade. Indique em cada caso se o escoamento é compressível ou incompressível, rotacional ou irrotacional, transiente ou permanente
d) V=(y^2+2 x z) imath+(-2 y z+x^2 y z) jmath+(12 x^2 z^2+x^3 y^4) k
Para os seguintes campos de velocidade calcule o divergente dos campos e a vorticidade. Indique em cada caso se o escoamento é compressível ou incompressível, rotacional ou irrotacional, transiente ou permanente
c) V=(x+y+z^2) imath+(x-y+z) jmath+(2 x y+y^2+4) widehatk