Para o escoamento de Poiseuille, cujo campo de velocidades é dado por,
(Considerando o eixo
posicionado na linha central do canal), onde
é a velocidade média do fluido, que é um dado do problema.
a) Determine o vetor vorticidade, o vetor rotação e o tensor deformação (no plano xy)
a) Determine o vetor vorticidade, o vetor rotação e o tensor deformação (no plano xy)
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede para a gente determinar três coisas para o escoamento de Poiseuille com o campo de velocidades dado por
. Estamos trabalhando com dinâmica de fluidos, especificamente analisando o escoamento em um canal. Para resolver isso, vamos precisar entender como calcular a vorticidade, a rotação e o tensor de deformação a partir do campo de velocidades fornecido.
Passo 2
Primeiro, vamos determinar o vetor vorticidade. A vorticidade
é dada pelo rotacional do campo de velocidade, ou seja:
Em coordenadas cartesianas, o rotacional é calculado assim:
No nosso caso,
e
. Vamos calcular as derivadas parciais necessárias:
Substituindo na expressão da vorticidade:
Passo 3
Agora, vamos encontrar o vetor rotação. O tensor de rotação
é a parte antissimétrica do gradiente de velocidades. Ele é definido por:
Primeiro, calculamos o gradiente de
:
[
\nabla \vec{V} =
]
Agora, calculamos
:
[
\nabla \vec{V} - (\nabla \vec{V})^T =
]
Então, o tensor de rotação é:
[
\Omega = \frac{1}{2}
]
Passo 4
Por fim, vamos calcular o tensor de deformação
. Esse tensor é a parte simétrica do gradiente de velocidades e é dado por:
Usando o gradiente de velocidades que já calculamos:
[
\nabla \vec{V} + (\nabla \vec{V})^T =
+
]
Assim, o tensor de deformação é:
[
\mathbf{D} = \frac{1}{2}
]
Resposta
A vorticidade é
, o tensor de rotação é
e o tensor de deformação no plano xy é
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Para os seguintes campos de velocidade calcule o divergente dos campos e a vorticidade. Indique em cada caso se o escoamento é compressível ou incompressível, rotacional ou irrotacional, transiente ou permanente
b)
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Considerando o um escoamento com um campo de velocidades dado por:
a) Trace a trajetória da partícula que passou pelo ponto (1,1) no instante
.
Para os seguintes campos de velocidade calcule o divergente dos campos e a vorticidade. Indique em cada caso se o escoamento é compressível ou incompressível, rotacional ou irrotacional, transiente ou permanente
d)
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c)
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