Em uma determinada região de um escoamento, a temperatura varia de acordo com: T(x, y)=x^2+2 y
c) Considere agora que a temperatura varia também no tempo de acordo com: T(x, y)=x^2+2 y+2 t. Calcule a variação transiente de temperatura para uma partícula nos mesmos pontos do item anterior e para uma partícula estagnada (com velocidade nula) nesses pontos.

Passo 1

Beleza, vamos lá! Temos uma função de temperatura que varia no espaço e agora também no tempo: . O que a gente precisa fazer aqui é calcular como essa temperatura muda ao longo do tempo para duas situações: para uma partícula que está se movendo na região do escoamento e para uma partícula que está parada (com velocidade zero) nesses mesmos pontos.
Para resolver isso, vamos usar o conceito de derivada material ou variação transiente da temperatura. Isso nos ajuda a entender como a temperatura que uma partícula experimenta muda com o tempo, levando em conta tanto a variação própria da temperatura quanto o movimento da partícula no campo de temperatura.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é a derivada material. Em termos simples, é a taxa de mudança da temperatura que uma partícula experimenta enquanto se move no escoamento. Matematicamente, ela é dada por:
dTdt = partial Tpartial t + v cdot nabla T
Aqui:
  • é a variação da temperatura com o tempo.
  • é o vetor velocidade da partícula.
  • é o gradiente da temperatura no espaço.

Passo 3

Vamos calcular cada parte dessa expressão.
Primeiro, a derivada parcial da temperatura em relação ao tempo:
partial Tpartial t = partialpartial t (x^2 + 2y + 2t) = 2
Isso significa que, independentemente da posição, a temperatura está aumentando a uma taxa constante de 2 unidades por tempo.

Passo 4

Agora, vamos calcular o gradiente da temperatura nabla T = ( partial Tpartial x, partial Tpartial y ) = (2x, 2) . O gradiente é um vetor que aponta na direção de maior aumento da função e seus componentes são as derivadas parciais em relação a cada coordenada espacial.
Então, o gradiente da temperatura é .

Passo 5

Para a partícula que está se movendo no escoamento, precisamos conhecer o vetor velocidade v cdot nabla T = u cdot 2x + v cdot 2 = 2u x + 2v . No enunciado, não foi fornecida a velocidade, mas como a questão menciona “nos mesmos pontos do item anterior”, vamos supor que a velocidade seja . Sem valores específicos, mantemos de forma geral:

Passo 6

Agora, juntando tudo na expressão da derivada material para a partícula em movimento:
dTdt = 2 + 2u x + 2v
Isso nos dá a variação total da temperatura que a partícula experimenta ao se mover no escoamento.

Passo 7

Para a partícula estagnada, que tem velocidade nula ( dTdt = 2 + 2 cdot 0 cdot x + 2 cdot 0 = 2 ), a expressão simplifica:
Ou seja, a variação da temperatura para a partícula parada é simplesmente a derivada parcial em relação ao tempo.

Resposta

A variação transiente de temperatura para uma partícula em movimento é e para uma partícula estagnada é .

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