Em uma determinada região de um escoamento, a temperatura varia de acordo com:
c) Considere agora que a temperatura varia também no tempo de acordo com:
. Calcule a variação transiente de temperatura para uma partícula nos mesmos pontos do item anterior e para uma partícula estagnada (com velocidade nula) nesses pontos.
c) Considere agora que a temperatura varia também no tempo de acordo com:
Passo 1
Beleza, vamos lá! Temos uma função de temperatura que varia no espaço e agora também no tempo:
. O que a gente precisa fazer aqui é calcular como essa temperatura muda ao longo do tempo para duas situações: para uma partícula que está se movendo na região do escoamento e para uma partícula que está parada (com velocidade zero) nesses mesmos pontos.
Para resolver isso, vamos usar o conceito de derivada material ou variação transiente da temperatura. Isso nos ajuda a entender como a temperatura que uma partícula experimenta muda com o tempo, levando em conta tanto a variação própria da temperatura quanto o movimento da partícula no campo de temperatura.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que é a derivada material. Em termos simples, é a taxa de mudança da temperatura que uma partícula experimenta enquanto se move no escoamento. Matematicamente, ela é dada por:
Aqui:
-
é a variação da temperatura com o tempo. -
é o vetor velocidade da partícula. -
é o gradiente da temperatura no espaço.
Passo 3
Vamos calcular cada parte dessa expressão.
Primeiro, a derivada parcial da temperatura em relação ao tempo:
Isso significa que, independentemente da posição, a temperatura está aumentando a uma taxa constante de 2 unidades por tempo.
Passo 4
Agora, vamos calcular o gradiente da temperatura
. O gradiente é um vetor que aponta na direção de maior aumento da função e seus componentes são as derivadas parciais em relação a cada coordenada espacial.
Então, o gradiente da temperatura é
.
Passo 5
Para a partícula que está se movendo no escoamento, precisamos conhecer o vetor velocidade
. No enunciado, não foi fornecida a velocidade, mas como a questão menciona “nos mesmos pontos do item anterior”, vamos supor que a velocidade seja
. Sem valores específicos, mantemos de forma geral:
Passo 6
Agora, juntando tudo na expressão da derivada material para a partícula em movimento:
Isso nos dá a variação total da temperatura que a partícula experimenta ao se mover no escoamento.
Passo 7
Para a partícula estagnada, que tem velocidade nula (
), a expressão simplifica:
Ou seja, a variação da temperatura para a partícula parada é simplesmente a derivada parcial em relação ao tempo.
Resposta
A variação transiente de temperatura para uma partícula em movimento é
e para uma partícula estagnada é
.
Exercícios relacionados
Pequenas partículas (traçadores) são utilizadas para visualização do escoamento. As mesmas são injetadas na origem
. Para o campo de velocidades dado por,
a) Trace as trajetórias dos traçadores que passam pela origem nos tempos
.
Em uma determinada região de um escoamento, a temperatura varia de acordo com:
a) Plote, esquematicamente, as isotermas e desenhe o vetor gradiente de temperatura em um ponto qualquer e. (dica: Adote valores cte. e plote as curvas resultantes)
a) Plote, esquematicamente, as isotermas e desenhe o vetor gradiente de temperatura em um ponto qualquer e. (dica: Adote valores
Para o escoamento de Poiseuille, cujo campo de velocidades é dado por,
(Considerando o eixo
posicionado na linha central do canal), onde
é a velocidade média do fluido, que é um dado do problema.
b) Determine o vetor aceleração. Comente o resultado.
b) Determine o vetor aceleração. Comente o resultado.
Considerando o um escoamento com um campo de velocidades dado por:
a) Trace a trajetória da partícula que passou pelo ponto (1,1) no instante
.