Para os seguintes campos de velocidade calcule o divergente dos campos e a vorticidade. Indique em cada caso se o escoamento é compressível ou incompressível, rotacional ou irrotacional, transiente ou permanente
b) V=2 x y^2 imath+2 y x^2 jmath+0 widehatk

Passo 1

Beleza, vamos resolver o exercício que pede para calcular o divergente e a vorticidade de um campo de velocidade, além de identificar algumas características do escoamento. O conteúdo envolvido aqui é de Cálculo Vetorial, especificamente sobre divergente e vorticidade. Para resolver isso, vamos precisar lembrar como calcular o divergente e a vorticidade de um campo vetorial tridimensional.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular o divergente do campo de velocidade dado:
V = 2xy^2 imath + 2yx^2 jmath + 0 k
O divergente de um campo vetorial nabla cdot V = partial Vxpartial x + partial Vypartial y + partial Vzpartial z é dado por:
nabla cdot V = 2y^2 + 2x^2 + 0 = 2x^2 + 2y^2
Vamos calcular cada derivada parcial:
Somando tudo:

Passo 3

Agora, vamos calcular a vorticidade, que é definida como o rotacional do campo de velocidade:
omega = nabla times V
Para calcular o rotacional, usamos a seguinte expressão determinante:
nabla times V = imath & jmath & k partialpartial x & partialpartial y & partialpartial z 2xy^2 & 2yx^2 & 0
Calculando cada componente:
  1. Componente partialpartial y(0) - partialpartial z(2yx^2) = 0 - 0 = 0 :
partialpartial z(2xy^2) - partialpartial x(0) = 0 - 0 = 0
  1. Componente partialpartial x(2yx^2) - partialpartial y(2xy^2) = 4yx - 4xy = 0 :
omega = 0 imath + 0 jmath + 0 k = 0
  1. Componente :
Então, a vorticidade é:

Passo 4

Vamos agora analisar as características do escoamento com base nos resultados obtidos:
  1. Compressível ou Incompressível:
    • O escoamento é compressível se o divergente não for zero.
    • Como , o escoamento é compressível.
  2. Rotacional ou Irrotacional:
    • O escoamento é rotacional se a vorticidade for diferente de zero.
    • Como , o escoamento é irrotacional.
  3. Transiente ou Permanente:
    • Como a velocidade não depende do tempo, o escoamento é permanente.

Resposta

  • Divergente:
  • Vorticidade:
  • Características do Escoamento:
    • Compressível
    • Irrotacional
    • Permanente

Exercícios relacionados

Considerando o um escoamento com um campo de velocidades dado por:
V=x(1+t / 2) imath+y jmath+0 widehatk
a) Trace a trajetória da partícula que passou pelo ponto (1,1) no instante t=0 s.
Para o escoamento de Poiseuille, cujo campo de velocidades é dado por, V=(2 U(y^2-h^2)) imath+0 jmath (Considerando o eixo times posicionado na linha central do canal), onde U é a velocidade média do fluido, que é um dado do problema.
b) Determine o vetor aceleração. Comente o resultado.
Para o escoamento de Poiseuille, cujo campo de velocidades é dado por, V=(2 U(y^2-h^2)) imath+0 jmath (Considerando o eixo times posicionado na linha central do canal), onde U é a velocidade média do fluido, que é um dado do problema.
a) Determine o vetor vorticidade, o vetor rotação e o tensor deformação (no plano xy)
Para os seguintes campos de velocidade calcule o divergente dos campos e a vorticidade. Indique em cada caso se o escoamento é compressível ou incompressível, rotacional ou irrotacional, transiente ou permanente
d) V=(y^2+2 x z) imath+(-2 y z+x^2 y z) jmath+(12 x^2 z^2+x^3 y^4) k