Considerando que, em um experimento de adubação, a resposta do crescimento de uma planta cm pode ser dada por
f(x) = 20 x / (x + 5)
em que x > 0 (g/m^2) é a quantidade de fertilizante adicionada:
© Existem assíntotas verticais e horizontais do gráfico da função?

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício fala sobre uma função que representa o crescimento de uma planta em função da quantidade de fertilizante usado. A gente precisa descobrir se o gráfico dessa função tem assíntotas verticais e horizontais. Para isso, vamos usar um pouco de cálculo e entender o comportamento da função quando x cresce ou quando o denominador zera.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que são assíntotas. Assíntotas verticais são linhas que o gráfico se aproxima mas nunca toca, geralmente onde a função não está definida (como quando o denominador é zero). Já as assíntotas horizontais mostram o valor que a função se aproxima quando x vai para mais ou menos infinito.

Passo 3

Vamos começar procurando a assíntota vertical. Olha a função:
A assíntota vertical ocorre onde o denominador é zero, porque aí a função não está definida. Então, vamos resolver:
Então, temos uma assíntota vertical em x = -5.

Passo 4

Agora, vamos buscar a assíntota horizontal. Para isso, analisamos o comportamento da função quando x tende ao infinito. Olhando a função:
Quando x fica muito grande, o +5 no denominador fica menos relevante, então a função se aproxima de:
Isso significa que a função se aproxima de 20 quando x vai para mais ou menos infinito. Assim, a assíntota horizontal é y = 20.

Resposta

Sim, o gráfico da função possui uma assíntota vertical em e uma assíntota horizontal em .

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