Encontre a equação da reta tangente à curva:
$(b)
que seja paralela à reta
$(b)
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar a equação da reta tangente à curva
que seja paralela à reta
. Para isso, vamos usar cálculo diferencial, especificamente derivadas, que nos ajudam a encontrar a inclinação (ou coeficiente angular) da reta tangente em qualquer ponto da curva.
Passo 2
Primeiro, vamos descobrir a inclinação da reta
para saber qual inclinação queremos para a nossa reta tangente. Para isso, vamos colocar essa equação na forma
, que é a forma de uma reta onde
é a inclinação.
Passo 3
Vamos isolar o
na equação
:
Então, a inclinação
da reta dada é
.
Passo 4
Agora, queremos que a reta tangente à curva
tenha essa mesma inclinação, ou seja,
. Para encontrar a reta tangente, precisamos saber em quais pontos da curva a derivada é igual a
.
Passo 5
Vamos calcular a derivada da função
. A derivada,
, nos dá a inclinação da reta tangente em qualquer ponto
:
Passo 6
Queremos que a derivada seja igual a
, então igualamos:
Agora, vamos resolver essa equação para encontrar os valores de
.
Passo 7
Multiplicando ambos os lados por 9 para eliminar o denominador:
Passo 8
Agora que temos os valores de
, vamos encontrar os correspondentes valores de
na curva
:
Para :
Para
De forma similar, para
:
Passo 9
Agora temos dois pontos onde a reta tangente tem inclinação
:
Vamos usar a fórmula da equação da reta na forma ponto-inclinação:
onde
e
é um dos pontos encontrados.
Passo 10
Vamos aplicar para o primeiro ponto:
E para o segundo ponto:
Resposta
As equações das retas tangentes à curva
que são paralelas à reta
são:
Exercícios relacionados
Considerando que, em um experimento de adubação, a resposta do crescimento de uma planta
pode ser dada por
em que
é a quantidade de fertilizante adicionada:
© Existem assíntotas verticais e horizontais do gráfico da função?
© Existem assíntotas verticais e horizontais do gráfico da função?
Para cada função dada verifique se a mesma é derivável no ponto
indicado:
$§ ;
$§
Considerando que, em um experimento de adubação, a resposta do crescimento de uma planta
pode ser dada por
em que
é a quantidade de fertilizante adicionada:
(d) Esboce o gráfico de .
(d) Esboce o gráfico de
Encontre a equação da reta tangente à curva:
$© que seja perpendicular à reta
.
$©