Encontre a equação da reta tangente à curva:
$(b) b que seja paralela à reta que seja paralela à reta

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar a equação da reta tangente à curva que seja paralela à reta . Para isso, vamos usar cálculo diferencial, especificamente derivadas, que nos ajudam a encontrar a inclinação (ou coeficiente angular) da reta tangente em qualquer ponto da curva.

Passo 2

Primeiro, vamos descobrir a inclinação da reta para saber qual inclinação queremos para a nossa reta tangente. Para isso, vamos colocar essa equação na forma , que é a forma de uma reta onde é a inclinação.

Passo 3

Vamos isolar o na equação :
Então, a inclinação da reta dada é .

Passo 4

Agora, queremos que a reta tangente à curva tenha essa mesma inclinação, ou seja, . Para encontrar a reta tangente, precisamos saber em quais pontos da curva a derivada é igual a .

Passo 5

Vamos calcular a derivada da função . A derivada, , nos dá a inclinação da reta tangente em qualquer ponto :

Passo 6

Queremos que a derivada seja igual a , então igualamos:
Agora, vamos resolver essa equação para encontrar os valores de .

Passo 7

Multiplicando ambos os lados por 9 para eliminar o denominador:

Passo 8

Agora que temos os valores de , vamos encontrar os correspondentes valores de na curva :
Para :
De forma similar, para :

Passo 9

Agora temos dois pontos onde a reta tangente tem inclinação :
Vamos usar a fórmula da equação da reta na forma ponto-inclinação:
onde e é um dos pontos encontrados.

Passo 10

Vamos aplicar para o primeiro ponto:
E para o segundo ponto:

Resposta

As equações das retas tangentes à curva que são paralelas à reta são:

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Considerando que, em um experimento de adubação, a resposta do crescimento de uma planta cm pode ser dada por
f(x) = 20 x / (x + 5)
em que x > 0 (g/m^2) é a quantidade de fertilizante adicionada:
© Existem assíntotas verticais e horizontais do gráfico da função?
Para cada função dada verifique se a mesma é derivável no ponto a indicado:
p;
Considerando que, em um experimento de adubação, a resposta do crescimento de uma planta cm pode ser dada por
f(x) = 20 x / (x + 5)
em que x > 0 (g/m^2) é a quantidade de fertilizante adicionada:
(d) Esboce o gráfico de f(x).
Encontre a equação da reta tangente à curva:
c que seja perpendicular à reta que seja perpendicular à reta.