Considerando f(x)=3 x^2+5 x, calcule lim h 0 f(x+h)-f(x)h.

Passo 1

Vamos entender o que está sendo pedido. Temos a função limh to 0 f(x+h) - f(x)h e queremos calcular o limite:
Esse tipo de limite é usado para encontrar a derivada da função em relação a . Para resolver, vamos precisar conhecer alguns conceitos de derivadas e saber como manipular expressões algébricas.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular f(x+h) = 3(x+h)^2 + 5(x+h) . Substituímos f(x+h) = 3(x^2 + 2xh + h^2) + 5x + 5h = 3x^2 + 6xh + 3h^2 + 5x + 5h por na função:
Vamos expandir os termos:

Passo 3

Agora, vamos calcular f(x+h) - f(x) = (3x^2 + 6xh + 3h^2 + 5x + 5h) - (3x^2 + 5x) = 6xh + 3h^2 + 5h :

Passo 4

Dividimos essa diferença por f(x+h) - f(x)h = 6xh + 3h^2 + 5hh = 6x + 3h + 5 :

Passo 5

Agora, tiramos o limite quando limh to 0 (6x + 3h + 5) = 6x + 0 + 5 = 6x + 5 tende a 0:

Resposta

limh to 0 f(x+h) - f(x)h = 6x + 5

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