Seja a função definida por Calcule lim x 4^- f(x).
Passo 1
Primeiro, vamos entender o que o exercício está pedindo. Temos uma função definida por partes, ou seja, ela muda de expressão dependendo do valor de . O objetivo é calcular o limite de quando se aproxima de 4 pela esquerda (). Para resolver isso, vamos precisar entender como funciona o limite e como analisar funções definidas por partes.
Passo 2
Quando queremos calcular um limite pela esquerda, estamos olhando para os valores de f(x) = 3x - 1, & se x <= 2 x^2 - 16x - 4, & se 2 < x < 4 2x^4 - 3x, & se x >= 4 que se aproximam de 4, mas são menores que 4. Vamos ver qual parte da função é válida para esses valores. Observando a definição:
Para perto de 4 pela esquerda, ou seja, , usamos a segunda expressão: .
Passo 3
Agora, vamos simplificar essa expressão para facilitar o cálculo do limite. Note que o numerador x^2 - 16 = (x - 4)(x + 4) é uma diferença de quadrados, que pode ser fatorada da seguinte maneira:
f(x) = (x - 4)(x + 4)x - 4
Substituindo de volta na função:
Passo 4
Perceba que temos f(x) = x + 4 no numerador e no denominador. Podemos simplificar esses termos, desde que , o que é válido aqui porque estamos considerando próximo a 4, mas diferente de 4:
Passo 5
Agora que simplificamos a função, calcular o limite é mais fácil. Basta substituir limx 4^- f(x) = limx 4^- (x + 4) = 4 + 4 = 8 por 4 na expressão simplificada:
Resposta
O limite de quando se aproxima de 4 pela esquerda é 8.