Considerando f(x) = (4 - x) / x, determine a expressão e o domínio de cada uma das funções abaixo.
© f(f(x))

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede pra gente descobrir a expressão e o domínio da função composta f(f(x)), onde . Ou seja, vamos trabalhar com funções e a composição de funções. Para isso, vamos precisar entender como substituir uma função dentro da outra e também determinar onde essa função composta está definida, ou seja, seu domínio.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa f(f(x)). Isso quer dizer que vamos pegar o resultado de f(x) e usar esse resultado como entrada para a própria função f. Então, vamos substituir f(x) na fórmula de f.
Temos que:
Então, substituindo f(x) em f, temos:

Passo 3

Agora, vamos calcular . Para isso, seguimos a definição de f substituindo x por na expressão de f(x):
Vamos simplificar passo a passo.
Primeiro, simplificamos o numerador:
Agora, temos:
Para deixar mais bonito, podemos multiplicar numerador e denominador por -1:
Mas ambas as expressões são equivalentes, então podemos deixar como preferir.

Passo 4

Agora, vamos determinar o domínio de f(f(x)). O domínio de uma função composta depende dos domínios das funções envolvidas.
Primeiro, o domínio de é todos os x diferentes de 0, porque o denominador não pode ser zero:
Mas, como estamos fazendo f(f(x)), precisamos que f(x) também esteja no domínio de f. Ou seja, f(x) ≠ 0:
Então, combinando as duas restrições:

Resposta

A expressão de f(f(x)) é:
E o domínio de f(f(x)) é todos os números reais exceto x = 0 e , ou seja:

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