Considerando
, determine a expressão e o domínio de cada uma das funções abaixo.
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Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede pra gente descobrir a expressão e o domínio da função composta
, onde
. Ou seja, vamos trabalhar com funções e a composição de funções. Para isso, vamos precisar entender como substituir uma função dentro da outra e também determinar onde essa função composta está definida, ou seja, seu domínio.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que significa
. Isso quer dizer que vamos pegar o resultado de
e usar esse resultado como entrada para a própria função
. Então, vamos substituir
na fórmula de
.
Temos que:
Então, substituindo
em
, temos:
Passo 3
Agora, vamos calcular
. Para isso, seguimos a definição de
substituindo
por
na expressão de
:
Vamos simplificar passo a passo.
Primeiro, simplificamos o numerador:
Agora, temos:
Para deixar mais bonito, podemos multiplicar numerador e denominador por
:
Mas ambas as expressões são equivalentes, então podemos deixar como preferir.
Passo 4
Agora, vamos determinar o domínio de
. O domínio de uma função composta depende dos domínios das funções envolvidas.
Primeiro, o domínio de
é todos os
diferentes de
, porque o denominador não pode ser zero:
Mas, como estamos fazendo
, precisamos que
também esteja no domínio de
. Ou seja,
:
Então, combinando as duas restrições:
Resposta
A expressão de
é:
E o domínio de
é todos os números reais exceto
e
, ou seja: