Leia com atenção as afirmações:
(I) A série de potências converge para ;
(II) O raio de convergência da série de potências é ;
(III) A expansão de , em torno do zero, é .
A sequência correta que descreve a veracidade das afirmações é: ]FFF [ ] FVF [ ]
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício apresenta três afirmações sobre séries de potências, convergência e expansões em série. Precisamos analisar cada uma delas para decidir se são verdadeiras (V) ou falsas (F). Para isso, vamos usar conceitos de análise de séries de potências, como convergência, raio de convergência e expansões em série de funções trigonométricas.
Passo 2
Afirmação I: A série de potências converge para .
Primeiro, vamos verificar a convergência dessa série para . Para séries de potências da forma , podemos usar o Teste da Convergência. Substituindo :
Essa série é a série alternada , que converge pelo Teste da Série Alternada porque os termos decrescem em módulo e tendem a zero. Portanto, a afirmação I é Verdadeira.
Passo 3
Afirmação II: O raio de convergência da série de potências é .
Para encontrar o raio de convergência de uma série de potências, usamos o Teste da Razão:
Para convergir, esse limite deve ser menor que 1:
Então, o raio de convergência é . Portanto, a afirmação II é Verdadeira.
Passo 4
Afirmação III: A expansão de , em torno de zero, é .
Vamos encontrar a expansão em série de . Sabemos que:
Substituindo :
Agora, dividindo por :
Portanto, a afirmação III está correta e é igual à expansão apresentada. Assim, a afirmação III é Verdadeira.