Considerando a função f(x) = (x-1)/x^2, podemos afirmar que a função é crescente no intervalo:
(A) 0,1
(B) 0,2
© (2,3)
(D) -2,1
(E) (-1, 0)

Passo 1

Vamos dar uma olhada na questão: Temos a função e precisamos descobrir em qual intervalo essa função está crescendo. Para resolver isso, vamos usar conceitos de cálculo, especificamente derivadas, que nos ajudam a entender como uma função se comporta, se está aumentando ou diminuindo em determinados intervalos.

Passo 2

Primeiro, para saber onde a função está crescendo, precisamos encontrar sua derivada . A derivada nos dá a taxa de variação da função, ou seja, se for positiva em um intervalo, a função está crescendo nesse intervalo.

Passo 3

Vamos calcular a derivada de . Podemos reescrever a função como para facilitar o cálculo usando a regra do produto.

Passo 4

Aplicando a regra do produto, temos:
Calculando as derivadas individuais:
Então:

Passo 5

Vamos simplificar a expressão da derivada:
Colocando tudo sobre um denominador comum:

Passo 6

Agora, queremos saber onde , ou seja, onde .
Vamos analisar o sinal dessa fração. O numerador será positivo quando e negativo quando . O denominador terá o mesmo sinal que , já que uma potência ímpar mantém o sinal.

Passo 7

Vamos considerar os intervalos determinados pelos pontos críticos, que são e .
  1. Para :
    • (pois negativo torna positivo)
    • (pois negativo)
    • A fração será negativa.
  2. Para :
    • A fração será positiva.
  3. Para :
    • A fração será negativa.

Passo 8

Concluímos que somente quando . Isso significa que a função está crescendo nesse intervalo.

Resposta

A função é crescente no intervalo . Portanto, a alternativa correta é a (B) .

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