Considerando a função
, podemos afirmar que a função é crescente no intervalo:
(A)
(B)
©
(D)
(E)
(A)
(B)
©
(D)
(E)
Passo 1
Vamos dar uma olhada na questão: Temos a função
e precisamos descobrir em qual intervalo essa função está crescendo. Para resolver isso, vamos usar conceitos de cálculo, especificamente derivadas, que nos ajudam a entender como uma função se comporta, se está aumentando ou diminuindo em determinados intervalos.
Passo 2
Primeiro, para saber onde a função está crescendo, precisamos encontrar sua derivada
. A derivada nos dá a taxa de variação da função, ou seja, se
for positiva em um intervalo, a função está crescendo nesse intervalo.
Passo 3
Vamos calcular a derivada de
. Podemos reescrever a função como
para facilitar o cálculo usando a regra do produto.
Passo 4
Aplicando a regra do produto, temos:
Calculando as derivadas individuais:
Então:
Passo 5
Vamos simplificar a expressão da derivada:
Colocando tudo sobre um denominador comum:
Passo 6
Agora, queremos saber onde
, ou seja, onde
.
Vamos analisar o sinal dessa fração. O numerador
será positivo quando
e negativo quando
. O denominador
terá o mesmo sinal que
, já que uma potência ímpar mantém o sinal.
Passo 7
Vamos considerar os intervalos determinados pelos pontos críticos, que são
e
.
-
Para
: -
(pois negativo torna positivo) -
(pois negativo) - A fração
será negativa.
-
-
Para
: -
-
- A fração
será positiva.
-
-
Para
: -
-
- A fração
será negativa.
-
Passo 8
Concluímos que
somente quando
. Isso significa que a função
está crescendo nesse intervalo.
Resposta
A função
é crescente no intervalo
. Portanto, a alternativa correta é a (B)
.
Exercícios relacionados
Considere
Neste caso, o valor máximo que
pode assumir é:
(A)
(B)
©
(D)
(E)
(A)
(B)
©
(D)
(E)
Use o método de equações homogêneas para resolver a EDO
. Dica: faça a substituição
e tome
.
Verifique se a equação diferencial é exata ou tendo um fator integrante que é uma função de
apenas ou de
apenas. Se não for exata, encontre o fator integrante.
.
Calcule as derivadas das funções abaixo:
f)
f)