Verifique se a equação diferencial é exata ou tendo um fator integrante que é uma função de
apenas ou de
apenas. Se não for exata, encontre o fator integrante.
.
Passo 1
Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos uma equação diferencial dada por
. Precisamos verificar se essa equação é exata. Se não for, devemos encontrar um fator integrante, que pode ser uma função de
ou de
, para tornar a equação exata.
Passo 2
Uma equação diferencial da forma
é exata se a derivada parcial de
em relação a
for igual à derivada parcial de
em relação a
. Vamos identificar
e
na nossa equação:
Passo 3
Agora, calculamos as derivadas parciais:
Passo 4
Comparamos as derivadas parciais:
Como
, a equação não é exata.
Passo 5
Como a equação não é exata, buscamos um fator integrante que depende apenas de
ou apenas de
. Primeiro, tentamos um fator integrante que é função de
, ou seja,
.
Passo 6
Para encontrar
, usamos a seguinte relação:
Substituindo os valores que já encontramos:
Passo 7
Simplificando a integral:
Observamos que
depende de
, o que complicaria a integral. Portanto, tentamos um fator integrante que depende apenas de
.
Passo 8
Assumimos
e usamos a relação:
Substituindo os valores:
Passo 9
Novamente, a expressão dentro da integral não simplifica para uma função pura de
. Portanto, buscamos outro método. Observando a equação original, notamos que podemos fatorar:
Isso sugere que o fator integrante pode ser uma função de
. Tentamos então
.
Passo 10
Multiplicamos a equação original por
:
Passo 11
Verificamos se a nova equação é exata. Calculamos as derivadas parciais:
Claramente,
, indicando que ainda não é exata. Contudo, a escolha de
simplifica o processo de resolução posterior.
Resposta
O fator integrante que torna a equação diferencial exata é
.
Exercícios relacionados
Considerando a função
, podemos afirmar que a função é crescente no intervalo:
(A)
(B)
©
(D)
(E)
(A)
(B)
©
(D)
(E)
Considere
Neste caso, o valor máximo que
pode assumir é:
(A)
(B)
©
(D)
(E)
(A)
(B)
©
(D)
(E)
Calcule as derivadas das funções abaixo:
f)
f)
Calcule os seguintes limites, caso existam: