Verifique se a equação diferencial é exata ou tendo um fator integrante que é uma função de x apenas ou de y apenas. Se não for exata, encontre o fator integrante. (y^2 + 2xy) dx - x^2 dy = 0.

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos uma equação diferencial dada por . Precisamos verificar se essa equação é exata. Se não for, devemos encontrar um fator integrante, que pode ser uma função de ou de , para tornar a equação exata.

Passo 2

Uma equação diferencial da forma é exata se a derivada parcial de em relação a for igual à derivada parcial de em relação a . Vamos identificar e na nossa equação:

Passo 3

Agora, calculamos as derivadas parciais:

Passo 4

Comparamos as derivadas parciais:
Como , a equação não é exata.

Passo 5

Como a equação não é exata, buscamos um fator integrante que depende apenas de ou apenas de . Primeiro, tentamos um fator integrante que é função de , ou seja, .

Passo 6

Para encontrar , usamos a seguinte relação:
Substituindo os valores que já encontramos:

Passo 7

Simplificando a integral:
Observamos que depende de , o que complicaria a integral. Portanto, tentamos um fator integrante que depende apenas de .

Passo 8

Assumimos e usamos a relação:
Substituindo os valores:

Passo 9

Novamente, a expressão dentro da integral não simplifica para uma função pura de . Portanto, buscamos outro método. Observando a equação original, notamos que podemos fatorar:
Isso sugere que o fator integrante pode ser uma função de . Tentamos então .

Passo 10

Multiplicamos a equação original por :

Passo 11

Verificamos se a nova equação é exata. Calculamos as derivadas parciais:
Claramente, , indicando que ainda não é exata. Contudo, a escolha de simplifica o processo de resolução posterior.

Resposta

O fator integrante que torna a equação diferencial exata é .

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Considerando a função f(x) = (x-1)/x^2, podemos afirmar que a função é crescente no intervalo:
(A) 0,1
(B) 0,2
© (2,3)
(D) -2,1
(E) (-1, 0)
Considere
A = [[x, x^2], [x^2, x]]
Neste caso, o valor máximo que f(x) = det(A) pode assumir é:
(A) raiz(2)/2
(B) -raiz(2)/2
© 1/2
(D) -1/4
(E) 1/4
Calcule as derivadas das funções abaixo:
f) f(x) = 52 sen(x) - 8 x^4 + 6 / raiz(raiz(x^3))
Calcule os seguintes limites, caso existam: lim x 0 tg 6 xsen 2 x