Use o método de equações homogêneas para resolver a EDO
. Dica: faça a substituição
e tome
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa equação diferencial ordinária (EDO) que é
. A gente vai utilizar o método de equações homogêneas, que é uma técnica para resolver EDOs onde a equação pode ser simplificada através de uma substituição que torna a equação mais fácil de lidar. Para isso, vamos fazer a substituição
e seguir os passos para resolver.
Passo 2
Primeiro, vamos fazer a substituição
. Isso significa que
. Agora, precisamos encontrar
em termos de
e
. Usando a regra do produto, derivando
, temos:
Essa substituição simplifica a equação original e nos prepara para resolver a EDO.
Passo 3
Substituímos
na equação original pela expressão que encontramos:
Agora, vamos simplificar essa equação. Primeiro, podemos cancelar o
dos dois lados:
Em seguida, podemos dividir ambos os lados por
(desde que
):
Passo 4
Agora, temos uma equação diferencial mais simples:
Essa é uma equação separável, o que significa que podemos separar as variáveis
e
para lados opostos da igualdade. Vamos fazer isso:
Agora, integramos ambos os lados para encontrar
em termos de
.
Passo 5
Vamos integrar os dois lados:
A integral de
em relação a
é
, e a integral de
é
. Então, temos:
onde
é a constante de integração.
Passo 6
Lembrando que fizemos a substituição
, vamos substituir de volta para expressar a solução em termos de
e
:
Essa é a solução geral da equação diferencial dada.
Resposta
A solução geral da EDO é
, onde
é a constante de integração.
Exercícios relacionados
Diga se as seguintes funções têm pontos críticos, e classifique-os em máximo local, mínimo local ou sela:
b)
b)
Resolva a equação diferencial pelo método das equações exatas
.
Considere
Neste caso, o valor máximo que
pode assumir é:
(A)
(B)
©
(D)
(E)
(A)
(B)
©
(D)
(E)
Considerando a função
, podemos afirmar que a função é crescente no intervalo:
(A)
(B)
©
(D)
(E)
(A)
(B)
©
(D)
(E)