Use o método de equações homogêneas para resolver a EDO dy/dx = x sec(y/x) + y/x. Dica: faça a substituição v = y / x e tome dy/dx = v + x * dv/dx.

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa equação diferencial ordinária (EDO) que é . A gente vai utilizar o método de equações homogêneas, que é uma técnica para resolver EDOs onde a equação pode ser simplificada através de uma substituição que torna a equação mais fácil de lidar. Para isso, vamos fazer a substituição e seguir os passos para resolver.

Passo 2

Primeiro, vamos fazer a substituição . Isso significa que . Agora, precisamos encontrar em termos de e . Usando a regra do produto, derivando , temos:
Essa substituição simplifica a equação original e nos prepara para resolver a EDO.

Passo 3

Substituímos na equação original pela expressão que encontramos:
Agora, vamos simplificar essa equação. Primeiro, podemos cancelar o dos dois lados:
Em seguida, podemos dividir ambos os lados por (desde que ):

Passo 4

Agora, temos uma equação diferencial mais simples:
Essa é uma equação separável, o que significa que podemos separar as variáveis e para lados opostos da igualdade. Vamos fazer isso:
Agora, integramos ambos os lados para encontrar em termos de .

Passo 5

Vamos integrar os dois lados:
A integral de em relação a é , e a integral de é . Então, temos:
onde é a constante de integração.

Passo 6

Lembrando que fizemos a substituição , vamos substituir de volta para expressar a solução em termos de e :
Essa é a solução geral da equação diferencial dada.

Resposta

A solução geral da EDO é , onde é a constante de integração.

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