Use o método de equações homogêneas para resolver a EDO dy/dx = x sec(y/x) + y/x. Dica: faça a substituição v = y / x e tome dy/dx = v + x * dv/dx.

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa equação diferencial ordinária (EDO) que é . A gente vai utilizar o método de equações homogêneas, que é uma técnica para resolver EDOs onde a equação pode ser simplificada através de uma substituição que torna a equação mais fácil de lidar. Para isso, vamos fazer a substituição e seguir os passos para resolver.

Passo 2

Primeiro, vamos fazer a substituição . Isso significa que . Agora, precisamos encontrar em termos de e . Usando a regra do produto, derivando , temos:
Essa substituição simplifica a equação original e nos prepara para resolver a EDO.

Passo 3

Substituímos na equação original pela expressão que encontramos:
Agora, vamos simplificar essa equação. Primeiro, podemos cancelar o dos dois lados:
Em seguida, podemos dividir ambos os lados por (desde que ):

Passo 4

Agora, temos uma equação diferencial mais simples:
Essa é uma equação separável, o que significa que podemos separar as variáveis e para lados opostos da igualdade. Vamos fazer isso:
Agora, integramos ambos os lados para encontrar em termos de .

Passo 5

Vamos integrar os dois lados:
A integral de em relação a é , e a integral de é . Então, temos:
onde é a constante de integração.

Passo 6

Lembrando que fizemos a substituição , vamos substituir de volta para expressar a solução em termos de e :
Essa é a solução geral da equação diferencial dada.

Resposta

A solução geral da EDO é , onde é a constante de integração.

Exercícios relacionados

Diga se as seguintes funções têm pontos críticos, e classifique-os em máximo local, mínimo local ou sela:
b) f(x) = x^3 - 2 x^2
Resolva a equação diferencial pelo método das equações exatas (1 + e^(x) y + x^(x) y) dx + (x e^(x) + 2) dy = 0.
Considere
A = [[x, x^2], [x^2, x]]
Neste caso, o valor máximo que f(x) = det(A) pode assumir é:
(A) raiz(2)/2
(B) -raiz(2)/2
© 1/2
(D) -1/4
(E) 1/4
Considerando a função f(x) = (x-1)/x^2, podemos afirmar que a função é crescente no intervalo:
(A) 0,1
(B) 0,2
© (2,3)
(D) -2,1
(E) (-1, 0)